ドーナツ面（トーラス面）

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

は環状に並べられた円と考えることができ，経線と緯線は円です．

　　ｒ0：パイプの半径，ｒ1：輪の半径

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

をパラメータ表示すると，

　　ｘ＝（ｒ0ｃｏｓｓ＋ｒ1）ｃｏｓｔ

　　ｙ＝（ｒ0ｃｏｓｓ＋ｒ1）ｓｉｎｔ

　　ｚ＝ｒ0ｓｉｎｓ

と表せます．

　その体積はパップス・ギュルダンの定理より，円の面積×円周の長さで与えられる．

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【１】パップス・ギュルダンの定理

　円を円と交わらない軸を中心にして３次元空間内で回転させるとトーラス（円環面）が得られる．半径ｂの円を３次元空間内で半径ａで回転させたトーラスの場合，

　　表面積＝円周長２πｂ×円周長２πａ＝４π^2ａｂ

　　体積＝断面積πｂ^2×円周長２πａ＝２π^2ａｂ^2

で表すことができる．すなわち，体積・表面積とも太さと長さの積で表せるというわけである．円周率が２つ入っているが，この意味はトーラス面は環状に並べられた円であることにほかならない．

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　円環の直径をｄ，円環体の外径をＤとすると，

　　ｂ＝ｄ／２，ａ＝（Ｄ−ｄ）／２

より，円環体の体積は

　　２π^2ａｂ^2＝π^2ｄ^2（Ｄ−ｄ）／４

となる．

　円柱と円環体の交差線は

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＋ｚ^2＝ｒ0^2

　　ｘ^2＋ｚ^2＝ｒ0^2（あるいはｙ^2＋ｚ^2＝ｒ0^2）

より

　　｛（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2−ｒ1｝^2＝ｘ^2

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2＝ｘ＋ｒ1

　　ｙ^2＝２ｒ1ｘ＋ｒ1　　（ｚ軸方向から見ると放物線）

　ちなみに，２本の円柱が直角に交わっているときは，

　　ｘ^2＋ｚ^2＝ｒ^2

　　ｙ^2＋ｚ^2＝ｒ^2

より，ｘ^2−ｙ^2＝０　　（ｚ軸方向から見ると直線）

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