立方体の各面に屋根を付けると正１２面体ができる．この屋根の高さを計算してみたい．正１２面体の二面角は

　　ｃｏｓδ＝−√５／５，ｔａｎδ＝−２

　　ｔａｎ（δ／２）＝｛（１−ｃｏｓδ）／（１＋ｃｏｓδ）｝^1/2

＝（５＋√５）／２√５≠１

となって，接しないことがわかる．

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　上でで調べたことは，正１２面体の辺の中心（そこは菱形３０面体の面の中心であるが）そこに菱形１２面体の頂点が内接するかどうかを調べた者である．

　したがって，立方体，菱形１２面体，菱形３０面体の包含関係については，

立方体は菱形１２面体の頂点，菱形３０面体の頂点をうまく選んで内接させることができるが，菱形１２面体を菱形３０面体に内接させることはできなかったことになる．

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　それが正しければ，立方八面体は正八面体の面に内接させることができるが，１２・２０面体を立方八面体（の面）に内接させることはできそうにないと予想されるのである．

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