正四面体と正四面体，正八面体と立方体，正１２面体と正２０面体は各稜が互いに他を垂直２等分するように交差させるとができる（複合多面体）．このとき，垂直２等分された各稜に注目すると，立方体，菱形１２面体，菱形３０面体の面の対角線になっている．

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　立方体の表面に立方体を６等分した四角錐を６個貼り付けると菱形１２面体が得られる．あるいは，正八面体の表面に正四面体を４等分した三角錐を８個貼り付けると菱形１２面体が得られる．

　正１２面体の表面に五角錐を１２個貼り付けると菱形３０面体が得られる．あるいは，正２０面体の表面に三角錐を２０個貼り付けると菱形３０面体が得られる．

　正１２面体の頂点をうまく選ぶと立方体を内接させることができるから，その状態で屋根となる五角錐と四角錐を貼り付けて，両者が接するかどうかを調べればよいことになる．

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　立方体の各面に屋根を付けると正１２面体ができる．この屋根の高さを計算してみたい．正１２面体の二面角は

　　ｃｏｓδ＝−√５／５，ｔａｎδ＝−２

　　ｔａｎ（δ／２）＝｛（１−ｃｏｓδ）／（１＋ｃｏｓδ）｝^1/2

＝（５＋√５）／２√５≠１

となって，接しないことがわかる．

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