問題を整理してみると

［１］正八面体，立方八面体，１２・２０面体の包含関係

［２］立方体，菱形１２面体，菱形３０面体の包含関係

ということになる．

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　立方体の表面に立方体を６等分した四角錐を６個貼り付けると菱形１２面体が得られる．あるいは，正八面体の表面に正四面体を４等分した三角錐を８個貼り付けると菱形１２面体が得られる．

→菱形１２面体の頂点をうまく選ぶと立方体を内接させることができる．

→正１２面体の頂点をうまく選ぶと立方体を内接させることができるから，菱形３０面体の頂点をうまく選びと，菱形１２面体を内接させることができるかもしれないというのは自然な発想であろう．

［補］正八面体を各辺の１／３の点で切頂する．あるいは，立方体を各辺の３／４の点で切頂すると，切頂八面体が得られる．正八面体の辺を黄金比で分割した点を結ぶと正二十面体が得られる．このとき，正二十面体と正八面体は面を共有している．正２０面体の中には立方体が頂点を共有した形で埋め込まれているが，立方体の辺は正五角形の対角線になるからその比は黄金比である．

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　正八面体の１２本の辺を黄金比に分割して，各面に正三角形ができるようにする．このとき，これらの分割点は正２０面体の１２個の頂点になることはよく知られている．

　また，

［１］正八面体の辺の中点を繋いでできる多面体は？→立方八面体（６・８面体）

［２］正２０面体の辺の中点を繋いでできる多面体は？→１２・２０面体

［３］正四面体の辺の中点を繋いでできる多面体は？→正八面体

→正八面体の中点を選ぶと立方八面体を内接させることができる．

→正八面体の１２本の辺を黄金比に分割する点を選ぶと，正２０面体を内接させることができる．

→正四面体の中点を選ぶと正八面体を内接させることができる．

→正四面体の各面に各辺を１：黄金比に順次内分した正三角形を作る．それらを繋いでいくと正２０面体ができる．

　どうすれば，立方八面体に１２・２０面体を内接させることができるだろうか？

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