［Ｑ］同じ大きさの正４面体２個のうち，１個を天地逆転させ，もう１個の正４面体にを重ねた場合，その外側と内側にはどのような立体ができるでしょうか？

［Ａ］この問題はダビデの星の３次元版（ケプラーの星）です．頭の中でイメージできれば答は簡単なのですが，勘の働きにくい問題でもあります．

　上から見ても，前から見ても，横から見ても，同じ６角形に見える３次元図形を想像されたのではないでしょうか？　ところが正解は，同じ大きさの正４面体２個による相貫体にはケプラーの８角星という名前がつけられていて，外側に立方体（正方形６面），内側に正８面体（正３角形８面）をもっています．

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　ついでに，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体の相貫体について考えてみましょう．立方体と正８面体の相貫体は，外側を菱形１２面体（直交する対角線の比が１：√２の菱形１２面）が，内側には立方８面体（正方形６面＋正３角形８面）が入っています．正１２面体と正２０面体の相貫体では，外側を包む立体が菱形３０面体（直交する対角線の比が黄金比になっている菱形３０面），内側には１２・２０面体（正５角形１２面＋正３角形２０面）という多面体が内包されているのです．

　３種類の相貫体−−正４面体と正４面体，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体−−について調べてみると，それぞれの立体の間に双対関係があり，３種類の相貫体の外側にできる立体と内側にできる立体−−立方体と正８面体，菱形１２面体と立方８面体，菱形３０面体と１２・２０面体も互いに双対関係をもっていることがわかります．そして，これらもやはり相貫体をつくることができ，そしてまたそこに現れてくる外側と内側の立体も双対関係になっています．

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［Ｑ］立方体，正８面体，菱形１２面体，立方８面体，菱形３０面体，１２・２０面体に関して，巡礼性を構築することはできるだろうか？　たとえば，菱形１２面体と菱形３０面体を頂点，辺，面を使って，内接・外接させることは可能か？

　菱形１２面体と菱形３０面体は球に外接する．その双対である立方８面体と１２・２０面体は球に内接する．したがって，この問題は頂点，辺，面を使って，立方８面体と１２・２０面体を内接・外接させることは可能か？と同値である．

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