［Ｑ］同じ大きさの正４面体２個のうち，１個を天地逆転させ，もう１個の正四面体に重ねた場合，その外側と内側にはどのような立体ができるでしょうか？

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　上から見ても，前から見ても，横から見ても，同じ６角形に見える３次元図形を想像されたのではないでしょうか？　そうであれば，菱形１２面体などが答えとなります．

　この答えは間違っているのですが，センスは悪くはありません．なぜかというと，正４面体と正４面体の相貫体ではなく，立方体と正８面体の相貫体を考えると，相貫体の外側には菱形１２面体，内側には立方８面体ができるからです．

　すなわち，立方体と正８面体の相貫体は，外側を菱形１２面体（直交する対角線の比が１：√２の菱形１２面）が，内側には立方８面体（正方形６面＋正３角形８面）が入っています．

　ついでに，正１２面体と正２０面体の相貫体について考えてみると，外側を包む立体が菱形３０面体（直交する対角線の比が黄金比になっている菱形３０面），内側には１２・２０面体（正５角形１２面＋正３角形２０面）という多面体が内包されているのです．

　３種類の相貫体−−正４面体と正４面体，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体−−について調べてみると，それぞれの立体の間に双対関係があり，３種類の相貫体の外側にできる立体と内側にできる立体−−立方体と正８面体，菱形１２面体と立方８面体，菱形３０面体と１２・２０面体も互いに双対関係をもっていることがわかります．そして，これらもやはり相貫体をつくることができ，そしてまたそこに現れてくる外側と内側の立体も双対関係になっています．頂点と面に関しての双対性にはうまくできているなと感嘆させられます．自然界の法則性，自然が作るきれいな関係の１例といえましょう．

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