【１】デルトイドの面積

　ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイドは，パラメータθを用いて

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ

と記述されます．θで微分すると

　　ｘ’＝−（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｙ’＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ

　ここで注意しなければならないことは，θは極座標（ｒ，θ）のパラメータではないことです．そのため，

　　Ｓ＝1/2∫ｒ^2ｄθ　　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2

として計算すると

　　Ｓ＝（ｎ^2−２ｎ＋２）・πｒ^2

となって正しい値が得られません．

　計算方法はいくつか考えられるのですが，

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

として計算するのが最も簡単なようです．その結果，ハイポサイクロイドの面積は

　　Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）・πｒ^2

で表されることが計算されます．定円の半径をＲ（＝ｎｒ）とした場合は，

　　Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）／ｎ^2・πＲ^2

となります．

　デルトイドの場合はｎ＝３，Ｒ＝３ｒですから

　　Ｓ＝２πｒ^2

となって回転円の面積の２倍に等しくなります．また，ｎ→∞のとき

　　Ｓ→πＲ^2

となって定円の面積に近づきます．

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【２】デルトイドの接線の長さ

　デルトイド

　　ｘ＝２ｃｏｓｔ＋ｃｏｓ２ｔ

　　ｙ＝２ｓｉｎｔ−ｓｉｎ２ｔ

の場合，ｔで微分すると

　　ｘ’＝−２ｓｉｎｔ−２ｓｉｎ２ｔ

　　ｙ’＝２ｃｏｓｔ−２ｃｏｓ２ｔ

ですから，

　　ｄｙ／ｄｘ＝−（ｃｏｓｔ−ｃｏｓ２ｔ）／（ｓｉｎｔ＋ｓｉｎ２ｔ）

　　ｄｙ／ｄｘ＝−（１−ｃｏｓｔ）／ｓｉｎｔ＝ｔａｎ（−ｔ／２）

すなわち，接ベクトルの偏角が−ｔ／２であることに気づけばπ−ｔ／２，２π−ｔ／２を容易に示すことができる．その結果，

　　Ｐ1（−２ｃｏｓｔ／２＋ｃｏｓｔ，　２ｓｉｎｔ／２＋ｓｉｎｔ）

　　Ｐ2（　２ｃｏｓｔ／２＋ｃｏｓｔ，−２ｓｉｎθ／２＋ｓｉｎｔ）

　これからＰ1Ｐ2＝４（一定）となることがわかる．すなわち，デルトイドは３つの尖点をもつ図形であるが，デルトイドの接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定であるという性質をもつのである．

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　動円の半径ｒのデルトイドでは長さ４ｒの棒をデルトイドに接しながら１回転することができるというのと同じことを今度は複素数を用いて表してみる．

　半径１／４の回転円が半径３／４の固定円に内接して滑ることなく転がっていくとき，回転円の周上の点の軌跡を考えると，

　　ｚ＝ｆ（ｔ）＝１／２ｅｘｐ（ｉｔ）＋１／４ｅｘｐ（−２ｉｔ）

　パラメータｔ0における接ベクトルの偏角は−ｔ0／２なので，接線の両端では

　　ｔ1＝−ｔ0／２，ｔ2＝−ｔ0／２＋π

　　ｆ（ｔ1）−ｆ（ｔ0）＝　ｅｘｐ（−ｉｔ0／２）ｓｉｎ^2３ｔ0／４

　　ｆ（ｔ2）−ｆ（ｔ0）＝−ｅｘｐ（−ｉｔ0／２）ｃｏｓ^2３ｔ0／４

これより，

　　｜ｆ（ｔ1）−ｆ（ｔ2）｜＝１

が示される．

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　デルトイドには「接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定である」という性質があります．これはデルトイドでは長さ４ｒの棒をデルトイドに接しながら１回転することができるというのと同一です．

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［Ｑ］デルトイドの接線が曲線に挟まれる部分の中点の描く軌跡は何か．

［Ａ］「２円定理」により，半径２ｒの円が半径Ｒ＝３ｒの円の内側を転がるとき，円上の固定された直径の描く包絡線はデルトイドになるわけですが，デルトイドの場合，この直径の両端も同じデルトイド上にあり，接線の中点の軌跡は半径ｒの円になります．

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　正三角形を太ったデルトイドとみなすと，太った線分に相当するものが藤原・掛谷の２角形です．また，正三角形の中の藤原・掛谷の２角形の中心の運動は３つの楕円の弧を組み合わせた三角おむすび形の軌道になっています．

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