これまでの数え上げは，π＝２や２＝√２の視覚的論証を見せられたような気分になり，どうもしっくりこない．

　たとえば，８次元の（３ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）の組み合わせがそうである．この点ともう一つの点との中点が（ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，０）であるからもう一つの点は（−ｘ，０，０，０，０，０，０，０）ということになる．

　したがって（３ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）の組み合わせが妥当なものであれば，（−ｘ，ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０，０）の組み合わせも妥当となるわけである．

　しかし，この解は直観に反している．外接球同士の球充填では，１点の周囲にこれほど多数の球が集まることは考えられないのである．なぜかというと，格子状最密球充填に関するスタインバーグの公式から，接吻数ですら以下のオーダーであるからである．

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　ｎ次元球のkissing numberの上界は立体角による評価，すなわち，正四面体配置（相互に接するよう球を配置）の問題でしたが，それに対して，下界は極大格子状配置による評価，すなわち，

　　Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ｄ4，Ｄ5，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8

の問題となります．

　たとえば，ｎ＝３のみならず，ｎ＝４，５の場合も面心立方格子状配置

　　（±１，±１，０）

　　（±１，±１，０，０）

　　（±１，±１，０，０，０）　　　（±１の個数は２つ）

では２ｎ（ｎ−１）個の球と接することができます．

　ｎ＝６，７，８では面心立方格子状配置の接触点以外にも隙間ができるので，隙間の分が加わって，それぞれ

　　６０＋１２＝７２

　　８４＋４２＝１２６

　　１１２＋１２８＝２４０

個の同じ大きさの球が詰め込み可能になります．（Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8格子はそれぞれ接触数７２，１２６，２４０を与える．）

　この隙間は，９個の整数に対して法３で合同となるので，

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＝ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０　　（ｎ＝６）

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＝ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０　　（ｎ＝７）

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＋ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０　　（ｎ＝８）

であって，

　　１２×３＝４２，４２×３＝１２８

という関係にあり，Ｅ8では９個の球によって完全に充填した構造となっています．

　　　　　　 　第１層　　　　第２層　　　　第３層

　　Ｅ6 格子 　　７２　　　　２７０　　　　７２０

　　Ｅ7 格子 １２６　　　　７５６　　　２０７２

　　Ｅ8 格子 ２４０　　　２１６０　　　６７２０

　そして，最終的には簡単なグラフ的算法に帰着されるのですが，１≦ｎ≦８では

　　ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８

　　下界　２　　６　　12　　24　　40　　72　　126　 240

となり，ガウス記号を用いて

　　下界＝ｎ（［２^(n-2)／３］＋ｎ＋１）

の形にまとめられます．→（この式はｎ＞８に対しては成り立ちません．ｎ＝９のとき４６８となるのですが，コクセターの上界４０１よりも大きくなってしまうからです．）

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　そうならば頂点次数に依存すると考えるのがいいかもしれないが，（その１２）で検討したように，ＢＣＣ型空間充填多面体の頂点次数ｍは

［１］ｎが奇数のとき

　　ｍ＝３（ｎ−１）／２

　　ｎ＝３のとき，ｎ＝３（ｎ−１）／２が成り立つ．

　　そのときに限り，単純多面体となる．

［２］ｎが偶数のとき

　　ｍ＝ｎ^2／２

　　ｎ＝２のとき，ｎ＝ｎ^2／２が成り立つ．

　　そのときに限り，単純多面体となる．

　もし求めている解がｍ＋１であるとしたら，

［１］ｎ＝３→４　（ＯＫ）

［２］ｎ＝２→３　（ＮＧ）

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