【１】正多面体群

　正多面体の回転を考えると，正４面体（位数１２）では４つの頂点の偶置換を引き起こすので４次交代群Ａ4と同型，正８面体（位数２４）では対面する面は４組あり，これらの組の置換を引き起こすので４次対称群Ｓ4と同型，正２０面体（位数６０）では３０個の辺を５組に分ける偶置換として作用するので５次交代群Ａ5と同型になります．正多面体の回転群は３次の特殊直交群ＳＯ（３）の有限部分群です．

　３次元空間の回転群には，この他に２種類の有限部分群，正ｎ角錐のもつ巡回群Ｃnと正ｎ角柱のもつ二面体群Ｄnがあります．クラインは，平面内での正ｎ角形を，球の赤道に内接する正ｎ角形の各頂点と北極・南極を結んでできる多面体を上下から赤道面に押しつぶしてできる体積が０の正凸面体と考え，この群を正２面体群と命名しました．２面体群とは，正ｎ角形を回転してもとの正ｎ角形に重ねる巡回群に対し，折り返しも用いてもとの正ｎ角形に重ねる変換すべてを含む群となります．すなわち，桜の花はＣ5，雪の結晶はＤ6というわけです．

　以上をまとめると，ＳＯ（３）の有限回転群は，

　　(1)巡回群（Ｃn：位数ｎ）

　　(2)正２面体群（Ｄn：位数２ｎ）

　　(3)４次交代群（Ａ4：位数１２）←→正４面体群と同型

　　(4)４次対称群（Ｓ4：位数２４）←→正６（８）面体群と同型

　　(5)５次交代群（Ａ5：位数６０）←→正１２（２０）面体群と同型

のいずれかであることになります．

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