［Ｑ］任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとする。外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒをａ，ｂ，ｃ，Δで表せ．

［Ａ］三角形の面積は，ヘロンの公式

　　Δ＝（ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ））^1/2，

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２

で求めることができる．ここで、２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

Δ^2＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　正弦定理より，

　　２Ｒ＝ａ／ｓｉｎα＝ｂ／ｓｉｎβ＝ｃ／ｓｉｎγ

余弦定理より，

　　ｃｏｓα＝（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）／２ｂｃ

であるから

　　ｓｉｎα＝｛１−（ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）^2／４ｂ^2ｃ^2｝^1/2

＝｛２（ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ａ^2）−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）｝^1/2／２ｂｃ

を代入して整理すると，ａ，ｂ，ｃについて対称な形の式が得られる．

　　２Ｒ＝２ａｂｃ／｛２（ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ａ^2）−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）｝^1/2

＝２ａｂｃ／｛（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）｝^2

　また，内接円の半径は

　　１／２・（ａ＋ｂ＋ｃ）・ｒ＝Δ

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［Ｑ］与えられた三角形が直角三角形のときのＲ，ｒをａ，ｂ，ｃの一次式で表せ．

［Ａ］内接円の中心からそれぞれの辺に垂線を引くと，

　　ｃ＝（ａ−ｒ）＋（ｂ−ｒ）＝ａ＋ｂ−２ｒ

　　ｒ＝（ａ＋ｂ−ｃ）／２

Ｒは外接円の半径であるから

　　Ｒ＝ｃ／２

　きちんと計算するならば，ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2，Δ＝ａｂ／２より，

　２（ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ａ^2）−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）＝４ａ^2ｂ^2

　２Ｒ＝２ａｂｃ／｛２（ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ａ^2）−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）｝^1/2＝ｃ

　なお，

　　Δ＝ａｂ／２＝１／２・（ａ＋ｂ＋ｃ）・ｒ

に，ｒ＝（ａ＋ｂ−ｃ）／２を代入すると，ピタゴラスの定理

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2

が得られる．

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