ここで取り上げるのは，デルタ１０面体の体積です．

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　四面体についてのオイラーの問題「６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで，与えられた４面体の体積を求めよ」です．空間のヘロンの公式というべきものであり，

　　Ｖ’＝Ｖ／６，Ｖ’＝Δとして

　　（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　　　　　　　　　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　　　　　　　　　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　　　　　　　−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｄ^2ｂ^2ｆ^2−ｄ^2ｅ^2ｃ^2

　１辺の長さが１の正四面体では，ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝ｆ＝１とおくと

　　（１２Δ）^2＝２＋２＋２−４＝２

　　Δ＝√２／１２

となって，ｎ次元正単体の体積

　　（ｎ＋１）^1/2／２^n/2ｎ！

に一致します．

　そこで，ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝１，ｆ＝Ｈ＝｛（１０−２√５）／５｝^1/2とおくと

　　（１２Δ）^2＝（Ｈ^2＋１）＋（Ｈ^2＋１）＋Ｈ^2（３−Ｈ^2）−２−２Ｈ^2

＝Ｈ^2（３−Ｈ^2）＝（１０−２√５）／５・（５＋２√５）／５＝（６＋２√５）／５

　　Δ＝（１＋１／√５）／１２　　　（＞√２／１２：正四面体の体積）

＝０．１２０６０１

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