空間充填２^n＋２ｎ胞体では外接球を使って議論したが，簡単に計算できる部分とｎの平方数分割

　　ｎ＝ｎ1^2＋ｎ2^2＋ｎ3^2＋・・・

が関係する部分があって，一般化するにはなかなか難しい．

　一般化できる部分についてまとめておくと，ｎ＝２ｋ（偶数）あるいは２ｋ＋１（奇数）として　

　　Σ２^j（ｋ，ｊ）^2　　　ｊ＝０〜ｋ

で表される．

　これは簡単な形で表現できるだろうか？（それにしても，当初の予想（その１１−１２）とは大きくかけ離れてしまった．）

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【１】ラグランジュの定理

　整数の平方

　　０，１，４，９，１６，２５，・・・

は非常にまばらにしか存在しません．しかし，２つの平方数の和の形で表される整数はより頻繁に現れます．

　　１＝１^2＋０^2

　　２＝１^2＋１^2

　　４＝２^2＋０^2

　　５＝２^2＋１^2

　　８＝２^2＋２^2

　　９＝３^2＋０^2

　１０＝３^2＋１^2

しかし，３，６，７，・・・といった整数は，２つの平方の和では書けません．

　３つの平方和となると，いくつかの間隙を埋めてくれるのですが，それでも，なおすべての正の整数を得ることはできません．たとえば，７は３つの平方数の和で書けないのです．

　　３＝１^2＋１^2＋１^2

　　６＝２^2＋１^2＋１^2

　「すべての正の整数は４個の整数の平方和で表される」

というのが，ラグランジュの定理なのですが，驚くべきことに，７のみならず任意の自然数はたった４つの平方数の和の形に表せるのです．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2

このことを，シンボリックに書くと

　　ｎ＝□＋□＋□＋□

となります．□は平方数の意味です．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ところで，

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))

は，オイラーが分割関数p(n)の研究中に発見した関数等式です（１７５０年）．この等式もオイラー積のように「無限積＝無限和」型の等式ですが，左辺は整数のｋ個の平方数の和への分割問題（ｎが平方和として何通りに書けるか）

　　ｎ＝□1＋□2＋・・・＋□k

に結びつく母関数で，それを展開すると右辺が得られるというわけです．

　オイラーは４平方和定理

　　「すべての正の整数は４個の整数の平方和で表される」

を証明するために，級数1+2Σｘ^(n^2)を考察しているのですが，このアイディアは，ｎの分割がｎをｋ個の平方数の和への分割（ｎが平方和として何通りに書けるか）：

　　ｎ＝□1＋□2＋・・・＋□k

として表した場合の解と１対１に対応することに拠っています．

　４＝（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2　　　１６通り

　４＝（±２）^2＋０^2＋０^2＋０^2　　　　　　　　　　　　＋８通り

のように，４個の平方数による分割

　　ｎ＝ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＋ｘ4^2

の解の個数をＲ（ｎ）で表せば，１８２９年，ヤコビは

　　Ｒ（ｎ）＝　８Σ（２ｄ＋１）　　　ｎ≡１（mod 2）

　　Ｒ（ｎ）＝２４Σ（２ｄ＋１）　　　ｎ≡０（mod 2）

　　　Σは（２ｄ＋１）｜ｎをわたる

を示しました．

　この出発点となった考え方は，

　　{Σq^(n^2)}^4=ΣR(n)q^n

　　 =1+8nq^n/(1-q^n)

の２つの表現のq^nの係数を比較することであって，Σq^(n^2)はテータ関数です．Ｒ（ｎ）を求めるのにヤコビはテータ関数を用いたのですが，それ以来，モジュラー形式などの解析的理論が数論へ応用されるようになり，ヤコビは２，４，６，８個の平方の和に分解する仕方の数，エルミートは３，５個の平方の和に分解する仕方の数を得ています．

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