以下に述べる半立方体は，たとえすべての座標がわかっていたとしても超平面上には載らないので，（その８）の方法では空間充填性を判定できないことになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ｎ次元の半立方体

　立方体は８頂点（±１，±１，±１）を結んでできる．３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきにとると正四面体ができる．たとえば，その頂点は（１，１，１），（１，−１，−１），（−１，１，−１），（−１，−１，１）の合計４頂点である．

　ひとつの頂点からは（３，２）＝３本のベクトルがでるが，（１，１，１）を中心として他の３頂点と結んだベクトルは（０，−２，−２），（−２，０，−２），（−２，−２，０）であり，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる．

　正８胞体（４次元超立方体）は１６頂点（±１，±１，±１，±１）を結んでできる．正８胞体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１，−１），（１，−１，−１，１），（−１，１，１，−１），（−１，１，−１，１），（−１，−１，１，１），（−１，−１，−１，−１）の合計８頂点が得られる．

　これらは４頂点（１，１，１，１），（１，１，−１，−１），（１，−１，１−，１），（１，−１，−１，１）と中心に対する対称な４頂点の合計８頂点であって，互いに直交する４本の軸上にあるから，正１６胞体をなすことがわかる（４次元空間の特殊性）．すなわち，３次元の立方体では８個の頂点をひとつおきにとると正四面体ができるが，４次元立方体では正１６胞体（４次元の正八面体）ができることになる．ひとつの頂点からは（４，２）＝６本のベクトルがでるが，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる．

　３次元では正四面体，４次元では正１６胞体になったが，５次元以上の空間では何になるのだろうか？　５次元正１６房体は３２頂点（±１，±１，±１，±１，±１）を結んでできる．５次元正１６房体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，（１，１，１，１，１），（１，１，１，−１，−１），（１，１，−１，１，−１），（１，１，−１，−１，１），（１，−１，１，１，−１），（１，−１，１，−１，１），（１，−１，−１，１，１），（−１，１，１，１，−１）（−１，１，１，−１，１）（−１，１，−１，１，１）（−１，−１，１，１，１），（１，−１，−１，−１，−１）（−１，１，−１，−１，−１），（−１，−１，１，−１，−１）（−１，−１，−１，１，−１），（−１，−１，−１，−１，１）の合計１６頂点が得られる．

　（１，１，１，１，１）を中心として，他の頂点と結んだベクトルは（０，０，０，−２，−２），（０，０，−２，０，−２）などとなる．ひとつの頂点からは（５，２）＝１０本のベクトルがでるが，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝