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【１】置換多面体の空間充填性

　切頂八面体（３次元置換多面体）では頂点に４桁の数字をラベルし，隣接する頂点（辺で結ばれる頂点）にはその互換となる数字をラベルする．たとえば１２３４に隣接する頂点には

　　２１４３，１３２４，１２４３

がくる．これが多面体を取り囲むわけであるから，その頂点数は４！＝２４となる．

　置換多面体の空間充填性を最も簡単に説明するためには，全体を１次元あげて，ｎ＋１次元空間内のｎ次元超平面をとるとよい．ラベルされた数字を座標とみなすと，切頂八面体は３次元超平面

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１０

として扱うことができる．

　これが３次元超平面をタイルすることがわかればよい．そこで（１，１，１，１）と直交する４ベクトル

　　（１，１，１，−３），（１，１，−３，１）

　　（１，−３，１，１），（−３，１，１，１）

を選び，平行移動させるのである．

　一般に，並進ベクトルは

　　（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）

　　ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn＝０

　　ｘ1＝ｘ2＝・・・＝ｘn　　（ｍｏｄ　ｎ）

となるようなｎ個のベクトルを選ぶことになる．

［１］正六角形の場合

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝６

　　（１，１，−２），（１，−２，１），（−２，１，１）

［２］切頂八面体の場合

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１０

　　（１，１，１，−３），（１，１，−３，１）

　　（１，−３，１，１），（−３，１，１，１）

［３］４次元置換多面体の場合

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＋ｖ＝１５

　　（１，１，１，１，−４），（１，１，−４，１，１）

　　（１，−４，１，１，１），（１，−４，１，１，１）

　　（−４，１，１，１，１）

　　ｘ1＝ｘ2＝・・・＝ｘn＝１　　（ｍｏｄ　ｎ）

としてよさそうである．

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［１］正六角形の場合

　　（１，１，−２），（１，−２，１），（−２，１，１）

を選び，平行移動させると，

　（１，２，３）→（２，３，１），（２，０，４），（−１，３，４）

　（１，３，２）→（２，４，０），（２，１，３），（−１，４，３）

　（２，１，３）→（３，２，１），（３，−１，４），（０，２，４）

　（２，３，１）→（３，４，−１），（３，１，２），（０，４，２）

　（３，１，２）→（４，２，０），（４，−１，３），（１，２，３）

　（３，２，１）→（４，３，−１），（４，０，２），（１，３，２）

より，

　（１，２，３）→（２，３，１）

　（１，３，２）→（２，１，３）

　（２，１，３）→（３，２，１）

　（２，３，１）→（３，１，２）

　（３，１，２）→（１，２，３）

　（３，２，１）→（１，３，２）

となって，６点がそれぞれ別の６点に移動している（空間充填図形）．

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［２］切頂八面体の場合

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１０

　　（１，１，１，−３），（１，１，−３，１）

　　（１，−３，１，１），（−３，１，１，１）

を選び，平行移動させると，

　（１，２，３，４）→（２，３，４，１）

　（１，２，４，３）→（２，３，１，４）

　（１，３，２，４）→（２，４，３，１）

　（１，３，４，２）→（２，４，１，３）

　（１，４，２，３）→（２，１，３，４）

　（１，４，３，２）→（２，１，４，３）

　（２，１，３，４）→（３，２，４，１）

　（２，１，４，３）→（３，２，１，４）

　（２，３，１，４）→（３，４，２，１）

　（２，３，４，１）→（３，４，１，２）

　（２，４，１，３）→（３，１，２，４）

　（２，４，３，１）→（３，１，４，２）

　（３，１，２，４）→（４，２，３，１）

　（３，１，４，２）→（４，２，１，３）

　（３，２，１，４）→（４，３，２，１）

　（３，２，４，１）→（４．３，１，２）

　（３，４，１，２）→（４，１，２，３）

　（３，４，２，１）→（４，１，３，２）

　（４，１，２，３）→（１，２，３，４）

　（４，１，３，２）→（１，２，４，３）

　（４，２，１，３）→（１，３，２，４）

　（４，２，３，１）→（１，３，４，２）

　（４，３，１，２）→（１，４，２，３）

　（４，３，２，１）→（１，４，３，２）

となって，２４点がそれぞれ別の２４点に移動している（空間充填図形）．

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