１辺の長さが１の正ｎ角形に内接する円がある．このとき，円の半径ｒは，

　　ｒ＝１／（２ｔａｎ（π／ｎ））

で与えられる．（その１１）において，

　　ｄ＝ｅ＝ｆ＝・・・＝１／２

とおくと，・・・

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［１］三角形の内接円の半径ｒは，１２ｒ^2−１＝０

［２］四角形の内接円の半径ｒは，４ｒ^2−１＝０

［３］五角形の内接円の半径ｒは，８０ｒ^4−４０ｒ^2＋１＝０

［４］六角形の内接円の半径ｒは，８０ｒ^4−４０ｒ^2＋３＝０

［５］七角形の内接円の半径ｒは，４４８ｒ^6−５６０ｒ^4＋８４ｒ^2−１＝０

［６］八角形の内接円の半径ｒは，６４ｒ^6−１１２ｒ^4＋２８ｒ^2−１＝０

［７］九角形の内接円の半径ｒは，

　　２３０４ｒ^8−５３７６ｒ^6＋２０１６ｒ^4−１４４ｒ^2＋１＝０

［８］十角形の内接円の半径ｒは，

　　１２８０ｒ^8−３８４０ｒ^6＋２０１６ｒ^4−２４０ｒ^2＋５＝０

［９］11角形の内接円の半径ｒは，

　　１１２６４ｒ^10−４２２４０ｒ^8＋２９５６８ｒ^6−５２８０ｒ^4＋２００ｒ^2−５＝０

［１０］12角形の内接円の半径ｒは，

　　３０７２ｒ^10−１４０８０ｒ^8＋１２６７２ｒ^6−３１６８ｒ^4＋２２０ｒ^2−３＝０

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　ここで，ｔａｎ（π／ｎ）に対してｎ倍角の公式を適用すると，ｒは代数方程式の解として得ることができる．

　　ｒ＝１／（２ｔａｎ（π／ｎ））

［１］ｎ＝３，ｒ＝１／（２√３）

［２］ｎ＝４，ｒ＝１／２

［３］ｎ＝５

　ｒ＝１／（２ｔａｎθ），θ＝π／５，ｔａｎ５θ＝０，ｔａｎθ≠０より，

　５−１０ｔａｎ^2θ＋ｔａｎ^4θ＝０

　５−１０／４ｒ^2＋１／１６ｒ^4＝０

　８０ｒ^4−４０ｒ^2＋１＝０

となって

［３］五角形の内接円の半径ｒは，８０ｒ^4−４０ｒ^2＋１＝０

が得られる．

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