（その９）を補足しておきたい．

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［１］辺の長さの与えられた円に内接するｎ角形→面積

　三角形の面積は，ヘロンの公式

　　Ｓ＝（ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ））^1/2，

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２

で求めることができる．

　４辺の長さを与えてもその形は決まらないので，そのような公式は期待できないが，四角形が円に内接するとき，面積は最大値をとり，ブラーマグプタの公式

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ））^1/2，

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／２

が成り立つ．

　　ｎ（≧５）角形では公式は存在しない．

［２］辺の長さの与えられた円に内接するｎ角形→外接円の半径

　　三角形：Ｒ＝ａｂｃ／｛２（ａ^2ｂ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｃ^2ａ^2）−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4）｝^1/2

　　四角形：Ｒ^2＝（ａｂ＋ｃｄ）（ａｄ＋ｂｃ）（ａｃ＋ｂｄ）／（ｂ＋ｃ＋ｄ−ａ）（ａ＋ｃ＋ｄ−ｂ）（ａ＋ｂ＋ｄ−ｃ）（ａ＋ｂ＋ｃ−ｄ）

　　三角形，四角形に比べて，ｎ（≧５）角形では飛躍的に複雑な方程式になる．

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［３］辺の長さの与えられた円に外接するｎ角形→内接円の半径と面積

　三角形の内接円の半径と面積は

　　ｒ＝（ｄｅｆ／（ｄ＋ｅ＋ｆ））^1/2

　　Ｓ＝１／２・２（ｄ＋ｅ＋ｆ）・ｒ

　四角形の内接円の半径と面積は

　　ｒ＝｛（ｅｆｇ＋ｆｇｈ＋ｇｈｅ＋ｈｅｇ）／（ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｈ）｝^1/2

　　Ｓ＝１／２・２（ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｈ）・ｒ

　面積はｒがわかれば計算可能である．　五角形が内接円をもつ場合は，

　　Ｓ＝１／２・２（ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ＋ｊ）・ｒ

一方，内接円の半径ｒに関する代数方程式が存在する．五角形の内接円の半径ｒは

　　（ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ＋ｊ）ｒ^4−Ａｒ^2＋ｆｇｈｉｊ＝０

Ａは（ｆｇｈ＋ｇｈｉ＋ｈｉｊ＋ｉｊｆ＋ｊｆｇ）ではなく，５個から３個をとったすべての組み合わせの１０項となる．

　六角形の内接円の半径ｒは

　　（ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ＋ｊ＋ｋ）ｒ^4−Ａｒ^2＋Ｂ＝０

Ａは６個から３個をとったすべての組み合わせの２０項となる．

Ｂは６個から５個をとったすべての組み合わせの６項となる．

Ｂ＝ｆｇｈｉｊ＋ｆｇｈｉｋ＋ｆｇｈｊｋ＋ｆｇｉｊｋ＋ｆｈｉｊｋ＋ｇｈｉｊｋ

　この代数方程式はｒについての（ｒ^2についての）

　　三角形・四角形：２次（１次）

　　五角形・六角形：４次（２次）

　　七角形・八角形：６次（３次）

　　九角形・十角形：８次（４次）

　　11角形・12角形：10次（５次）

方程式になる．

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