２つの円の中間に次々に接する円列の半径をｒ1，ｒ2，ｒ3，・・・と表すことにする．もちろん，完全な円環をなす場合の方が簡単な形となる．ｎ円の場合を扱う．

　　［参］小寺裕「関孝和・算聖の数学思潮」現代数学社

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　Ｒ1＝（ｒ2−ｒ3）ｒ1ｒ4，Ｒ2＝（ｒ1−ｒ4）ｒ2ｒ3

　　Ｒ3＝Ｒ1＋Ｒ2

とおく．（その７）のｎ円環をＲ1とＲ3で書き直すと

［１］４円環

　　２Ｒ1−Ｒ3＝０

［２］５円環

　　２Ｒ1^2−３Ｒ1Ｒ3＋Ｒ3^2＝０

［３］６円環

　　３Ｒ1−Ｒ3＝０

［４］７円環

　　Ｒ1^3−６Ｒ1^2Ｒ3＋５Ｒ1Ｒ3^2−Ｒ3^3＝０

［５］８円環

　　２Ｒ1^2−４Ｒ1Ｒ3＋Ｒ3^2＝０

［６］９円環

　　Ｒ1^4−１０Ｒ1^3Ｒ3＋１５Ｒ1^2Ｒ3^2−７Ｒ1Ｒ3^3＋Ｒ3^4＝０

［７］１０円環

　　５Ｒ1^2−５Ｒ1Ｒ3＋Ｒ3^2＝０

　この代数方程式の係数が以下の問題にも現れるという．

　１辺の長さが１の正ｎ角形に内接（外接）する円がある．このとき，円の半径ｒ（Ｒ）は，

　　ｒ＝１／（２ｔａｎ（π／ｎ））

　　Ｒ＝１／（２ｓｉｎ（π／ｎ））

で与えられる．ここで，ｔａｎ（π／ｎ），ｓｉｎ（π／ｎ）に対してｎ倍角の公式を適用すると，ｒは代数方程式の解として得ることができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　さらに，その応用として

［１］４円環

　　１／ｒ1＋１／ｒ3＝１／ｒ2＋１／ｒ4

［２］８円環

　　１／ｒ1＋１／ｒ5＝１／ｒ3＋１／ｒ7

［３］１２円環

　　１／ｒ1＋１／ｒ7＝１／ｒ4＋１／ｒ10

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝