１辺の長さが１の正ｎ角形に内接（外接）する円がある．このとき，円の半径ｒ（Ｒ）は，

　　ｒ＝１／（２ｔａｎ（π／ｎ））

　　Ｒ＝１／（２ｓｉｎ（π／ｎ））

で与えられる．

　ここで，ｔａｎ（π／ｎ），ｓｉｎ（π／ｎ）に対してｎ倍角の公式を適用すると，ｒは代数方程式の解として得ることができる．この代数方程式の係数がシュタイナーの円鎖の問題にも現れるという．

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【１】シュタイナーの定理

　小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．このとき，最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす．

　ここでは，完全な円環をなさない場合も含めて一般の場合を扱う．２つの円の中間に次々に接する円列の半径をｒ1，ｒ2，ｒ3，・・・と表すことにする．もちろん，完全な円環をなす場合の方が簡単な形となる．

［１］４円環

　　（ｒ2＋ｒ4）ｒ1ｒ3＝（ｒ1＋ｒ3）ｒ2ｒ4

［２］５円環

　　τ＝（１＋√５）／２として，

　　（ｒ3−ｒ4）ｒ2ｒ5−１／τ・（ｒ2−ｒ5）ｒ1ｒ4＝０

［３］６円環

　　２（ｒ4−ｒ5）ｒ2ｒ6−（ｒ3−ｒ6）ｒ4ｒ5＝０

［４］７円環

　　Ｒ1＝（ｒ3−ｒ7）ｒ4ｒ5，Ｒ2＝（ｒ4−ｒ5）ｒ3ｒ7

　　−Ｒ1^3＋２Ｒ1^2Ｒ2＋Ｒ1Ｒ2^2−Ｒ2^3＝０

［５］８円環

　　Ｒ1＝（ｒ3−ｒ6）ｒ4ｒ5，Ｒ2＝（ｒ4−ｒ5）ｒ3ｒ5

　　Ｒ1^2−Ｒ1Ｒ2−Ｒ2^2＝０

［６］９円環

　　Ｒ1＝（ｒ5−ｒ6）ｒ4ｒ7，Ｒ2＝（ｒ4−ｒ7）ｒ5ｒ6

　　３Ｒ1^3−３Ｒ1Ｒ2^2＋Ｒ2^3＝０

［７］１０円環

　　Ｒ1＝（ｒ4−ｒ7）ｒ5ｒ6，Ｒ2＝（ｒ5−ｒ6）ｒ4ｒ7

　　Ｒ1^2−３Ｒ1Ｒ2＋Ｒ2^2＝０

　これらの方程式の係数については，次回の宿題としたい．

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