ｎ個の連続する整数の積はｎ！で割り切れます．今回はその積和についておさらいしておきたいと思います．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ｐ個の連続する整数の積和（ｋ＝１〜ｎ）

　　Σｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）・・・（ｋ＋ｐ−１）

＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）・・・（ｎ＋ｐ）／（ｐ＋１）

　すなわち，右辺はｐ＋１個の連続する整数の積がｐ＋１で割り切れることを示しています．この式は元来はベキ和の公式

　　S(s,n)=Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

を求めるために考案されたものです．

Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ですから，左辺は，ｓが偶数のときｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（多項式）／（整数），１以外の奇数のときｎ^2（ｎ＋１）^2（多項式）／（整数）と書くことができます．また，Σｋ^sは（ｓ＋１）次の多項式になり，最高次数の係数は１／（ｓ＋１）です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝