ｎ次元の立方体（頂点数２^n）のひとつおきの頂点において，そこと相隣る頂点全体を通る超平面で切り落として残る図形は半立方体（hemicube）と呼ばれる．たまたま，３次元では正四面体，４次元では正１６胞体となるが，５次元以上ではそれほど簡単な図形ではない．

　また，三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．高次元の多面体ではこのようになることが知られている．半立方体の体積を求めてみよう．

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　ｎ半立方体の切断回数は２^n-1である．２次元は例外と思われるが，体積０である．

　３次元では立方体から直角三角錐を４個取り除くと正四面体になる．その際，

底面積１／２の直角三角錐ＲＴが４個切り落とされるから

　　１−１／２・１／３・４＝１／３

　４次元では正８胞体からＲＰを８個取り除くと１６胞体になる．ＲＰは３次元のＲＴが底体積になる（はず）であるから，

　　１−１／６・１／４・８＝２／３

　５次元では，漸化式にしたがって，

　　１−１／６・１／４・１／５・２^4＝１３／１５

　５次元以上の空間では直角三角錘を２^n-1個を取り除くと

　　１−２^n-1／ｎ！

ｎ＝２を代入すると，体積＝０が得られる．

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