【１】ｋ＞３の場合

　　ｆ（ｎ，ｋ）＝｛２^n-1・（ｎ，ｋ＋１）＋２ｎ・ｆ（ｎ−１，ｋ）｝／（ｎ−ｋ）

　　ｆ（ｎ，ｋ）＝｛２^n-1・ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／（ｋ＋１）！＋２ｎ／（ｎ−ｋ）・ｆ（ｎ−１，ｋ）

　　ｆ（ｎ，ｋ）＝２ｎ／（ｎ−ｋ）ｆ（ｎ−１，ｋ）＋２^n-1ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／（ｋ＋１）！・・・［１］

２ｎ／（ｎ−ｋ）において，ｎ→ｎ＋１すなわち２（ｎ＋１）／（ｎ−ｋ＋１）として両辺にかけると

　　２（ｎ＋１）／（ｎ−ｋ＋１）ｆ（ｎ，ｋ）＝２^2ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−ｋ）（ｎ−ｋ＋１）ｆ（ｎ−１，ｋ）＋２^n（ｎ＋１）ｎ・・・（ｎ−ｋ＋２）／（ｋ＋１）！

　　２ｎ／（ｎ−ｋ）ｆ（ｎ−１，ｋ）＝２^2（ｎ−１）ｎ／（ｎ−ｋ−１）（ｎ−ｋ）ｆ（ｎ−２，ｋ）＋２^n-1ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／（ｋ＋１）！・・・［２］

２ｎ／（ｎ−ｋ）において，ｎ→ｎ＋１すなわち２（ｎ＋１）／（ｎ−ｋ＋１）として両辺にかけると

　　２^2ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−ｋ）（ｎ−ｋ＋１）ｆ（ｎ−１，ｋ）＝２^3（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−ｋ−１）（ｎ−ｋ）（ｎ−ｋ＋１）ｆ（ｎ−２，ｋ）＋２^n（ｎ＋１）ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋２）／（ｋ＋１）！

　　２^2（ｎ−１）ｎ／（ｎ−ｋ−１）（ｎ−ｋ）ｆ（ｎ−２，ｋ）＝２^3（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／（ｎ−ｋ−２）（ｎ−ｋ−１）（ｎ−ｋ）ｆ（ｎ−３，ｋ）＋２^n-1ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／（ｋ＋１）！・・・［３］

２ｎ／（ｎ−ｋ）において，ｎ→ｎ＋１すなわち２（ｎ＋１）／（ｎ−ｋ＋１）として両辺にかけると

　　２^3（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−ｋ−１）（ｎ−ｋ）（ｎ−ｋ＋１）ｆ（ｎ−２，ｋ）＝２^4（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−ｋ−２）（ｎ−ｋ−１）（ｎ−ｋ）（ｎ−ｋ＋１）ｆ（ｎ−３，ｋ）＋２^n（ｎ＋１）ｎ・・・（ｎ−ｋ＋２）／（ｋ＋１）！

　　２^3（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／（ｎ−ｋ−２）（ｎ−ｋ−１）（ｎ−ｋ）ｆ（ｎ−３，ｋ）＝２^4（ｎ−３）（ｎ−２）（ｎ−１）ｎ／（ｎ−ｋ−３）（ｎ−ｋ−２）（ｎ−ｋ−１）（ｎ−ｋ）ｆ（ｎ−４，ｋ）＋２^n-1ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／（ｋ＋１）！・・・［４］

　［１］［２］［３］［４］より，ｍ＝１，２，・・・として右辺はｎ，ｎ−ｋから降順にｍ個の積になっている．

　　２^m（ｎ−ｍ＋１）・・・ｎ／（ｎ−ｋ−ｍ＋１）・・・（ｎ−ｋ）ｆ（ｎ−ｍ，ｋ）＋２^n-1（ｎ−ｋ＋１）・・・（ｎ−１）ｎ／（ｋ＋１）！

ｍ＝ｎ−ｋ−１とおくと

　　２^n-k-1（ｋ＋２）・・・ｎ／（ｎ−ｋ）！・ｆ（ｋ＋１，ｋ）＋２^n-1（ｎ−ｋ＋１）・・・ｎ／（ｋ＋１）！

　　２^n-k+1ｎ！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ）！・ｆ（ｋ＋１，ｋ）＋２^n-1ｎ！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ）！

　　ｆ（ｋ＋１，ｋ）＝２^k＋２（ｋ＋１），ｋ＞２

であるから

　　ｆ（ｎ，ｋ）＝ｎ！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ）！｛２^n-k-1（２^k＋２ｋ＋２）＋２^n-1（ｎ−ｋ−１）｝

＝ｎ！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ）！｛２^n-1（ｎ−ｋ）＋２^n-k（ｋ＋１）｝

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