■立方体の断面(その12)
これまでのまとめをすると,n半立方体Hnのファセットは
2^n-1個のn−1正単体と2n個のn−1半立方体
からなる.fn-1=2^n-1+2n,また,f0=2^n-1
2次元:(2,1)
3次元:(4,6,4) (正四面体)
4次元:(8,24,32,16) (正16胞体)
5次元:(16,80,160,120,26)
6次元:(32,240,640,640,252,44)
7次元:(64,672,2240,2800,1624,532,78)
である.
===================================
H3では,(4,6,4)
4個の正三角形(3,3)と6個の線分(2,1)の合計は
頂点数:4・3+6・2=24 (重複20)
辺数:4・3+6・1=18 (重複12)
面数:4・1
H4では,(8,24,32,16)
8個の正四面体(4,6,4)と8個の正四面体(4,6,4)の合計は
頂点数:8・4+8・4=64 (重複56)
辺数:8・6+8・6=96 (重複72)
面数:8・4+8・4=64 (重複32)
3次元面数:8・1+8・1=16
H5では,(16,80,160,120,26)
16個の正5胞体(5,10,10,5)と10個の正16胞体(8,24,32,16)の合計は
頂点数:16・5+10・8=160 (重複144)
辺数:16・10+10・24=400 (重複320)
面数:16・10+10・32=480 (重複320)
3次元面数:16・5+10・16=240 (重複120)
4次元面数:16・1+10・1=26
H6では,(32,240,640,640,252,44)
32個の正5胞体(6,15,20,15,6)と12個のH5(16,80,160,120,26)の合計は
頂点数:32・6+12・16=384 (重複352)
辺数:32・15+12・80=1440 (重複1200)
面数:32・20+12・160=2560 (重複1920)
3次元面数:32・15+12・120=1920 (重複1280)
4次元面数:32・6+12・26=504 (重複252)
5次元面数:32・1+12・1=44
n>3ではn−2次元面数は合計/2になるようだ.
H7では,(64,672,2240,2800,1624,532,78)
64個の6次元正単体(7,21,35,35,21,7)と14個のH6(32,240,640,640,252,44)の合計は
頂点数:64・7+14・32=896 (重複832)
辺数:64・21+14・240=4704 (重複4032)
面数:64・35+14・640=11200 (重複8960)
3次元面数:64・35+14・640=11200 (重複8400)
4次元面数:64・21+14・252=4872 (重複3248)
5次元面数:64・7+14・44=1064 (重複532)
6次元面数:64・1+14・1=78
n=7でもn−2次元面数は合計/2になる.
===================================