世の中には無限に多くの形があるが，話を単純にするためにここでは「結晶」に限定しよう．結晶は２１９種類あることが知られていて，実際，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．（結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．）

　２３０種類にせよ２１９種類にせよ，これでもかなりの数だが，少し目線を引いて結晶格子を遠くからみてみよう．じっと眺めていると面白い事実に気づく．いつも特定の形の凸多面体が現れるのである．ここで現れる結晶格子に対応する本質的な配置はディリクレ領域と呼ばれるものであるが，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる形（平行多面体）になっている．

　平行多面体についての第１の問題は，まずどれだけの種類があるかであるが，ロシアの結晶学者フェドロフによって，５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体−−しかないことが証明されている（１８８５年）．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以である．

　それでは第２の問題は何かというと，平行多面体元素問題

［Ｑ］何種類か凸多面体を用いて，すべての平行多面体を作りたい．その種類の最小数は何か？

［Ａ］答えは驚くべきことに「１」となる．この問題は平行多面体にアフィン合同なものをどれかひとつ作れればよいという意味であるが，ペンタドロンσはそのひとつの答えとなっている．σ2，σ4も元素の定義を満たすから，その形は一意には定まらない．

　この事実の証明は非常に簡単である．実際に構成することができるからだ．しかし，ペンタドロンももつ意味は非常に深淵である．この世の中のすべての形がたった１種類の多面体から生み出されているといってもよいからである．

　平行多面体はペンタドロン元素からできている・・・２００８年の発見から５年以上経過しして，ペンタドロンの論文がやっと出版された．タイトルは

　　“Geometry-Intuitive，Discrete,　and　Convex”

　　　Bolyai Society Mathematical Studies　Vol.24 (2013)

SPRINGER から本の形で出版されたので廉価ではない．さらに，イメージミッション社からペンタドロン模型が発売されたのでお知らせしたい．

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【１】発想の経緯

　平行多面体は結晶（金属結晶や鉱物結晶）でよくみられる構造である．たとえば，切頂八面体は体心立方格子のボロノイ領域，菱形１２面体は面心立方格子のボロノイ領域である．菱形１２面体はザクロ石（ガーネット）にもみられる．立方体は単純立方格子のボロノイ領域で，平行六面体は方解石にみられる．六角柱はコランダム（ルビー・サファイア），歯のエナメル質などにみられるが，長菱形１２面体はあまりみられないから平行多面体の異端児である．

　最初は体心立方格子と面心立方格子の相転移を考えたので，切頂八面体と菱形１２面体に共通する元素多面体は何かという問題であった．この答えはc-squadronである．体心立方格子と面心立方格子の相転移の途中で，単純立方格子を経由することから，次に切頂八面体と菱形１２面体と立方体に共通する元素多面体は何かという問題になったが，それにはc-squadronを２分割すればよい．この多面体がpentadronである．ペンタドロンは切頂八面体を４８分割した５面体である．

　さらにその発展問題が５種類ある平行多面体に共通する元素多面体は何かという問題である．当初，直六角柱を考えたのでペンタドロンをさらに２分割する必要があったが，秋山先生がアフィン同値すなわち斜六角柱でよしとしようとおっしゃったことがきっかけで，長菱形１２面体も含め，すべての平行多面体の元素数が１であることが確定したことになる．ひとつの形から平行多面体が何でもできてしまうわけであるから，結晶学者は興味ももってくれるはずである．

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【２】理由が知りたい

　なぜ，かくも都合のいいことが起こったのか，その本質を知りたいという人は少なくないだろう．実はこんなに都合のいいことが起こるのは３次元の特異性に負っているのであって，４次元でも５次元でも決して起こり得ない現象なのである．

　そのことを理解して頂くために，高次元でも普遍的に存在するｎ次元空間充填多胞体を２種類構成する．それらは体心立方格子型空間充填をもたらす２^n＋２ｎ胞体とミンコフスキーによって発見された空間充填２（２^n−１）胞体である．

　３次元の切頂八面体（１４面体）は，すべての次元を通じて唯一，空間充填２^n＋２ｎ胞体，かつ，空間充填２（２^n−１）胞体という性質をもつ多面体であるという事実が，３次元平行多面体の元素数が１であることと密接に関係しているのである．

　　２^3＋２・３＝２（２^3−１）＝１４

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【３】近況

最近では，２つの元素で平行多面体５種類と正四面体，正八面体の７種類を作ることができるもの，４つの元素で平行多面体５種類と正多面体５種類の計９種類を作ることができるものが見つかっている（立方体は正多面体でもあり，平行多面体でもあり，両者の共通集合をなす）．

　また，相転移のモデルとなるフリップ・フロップ変身図形がすべての平行多面体相互間で見つかっている．何かに応用できると良いなと思うが，いますぐにはいいアイディアは浮かばない．

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