ディンキン図形に基づいて，隣接行列の要素ｂijを，

　　それ自身のとき・・・・２

　　結ぶ辺があるとき・・・１

　　結ぶ辺がないとき・・・０

と定める．

　グラフの隣接行列では，結ぶ辺の有無を（０，１）で表したものが一般的である．すなわち，

　　結ぶ辺があるとき・・・１

　　結ぶ辺がないとき・・・０

であるが，極大格子の隣接行列Ｂ＝｛ｂij｝では，要素が内積ｂi↑・ｂj↑からなるグラミアンによって定義される．その際，ｎ次元平行多面体（平行２ｎ面体）の基底となるｎ個のベクトルｂkはすべて長さ√２，ｂiとｂjが隣り合うときは２つのベクトルは角度６０°で交わり（内積＝１），隣り合わないときは直交すること（内積＝０）を意味している．角度が６０°のことを隣り合うといっているわけで，そのため，隣接行列は（０，１，２）で表されることになる（隣接行列の定義は文献によって異なる場合があるので注意を要する）．

　そうすれば，Ａ3型，Ｄ4型，Ｅ8型に対応する隣接行列式｜Ｂ｜は，それぞれ

　　｜２　１　０｜　　　｜２　１　０　０｜

　　｜１　２　１｜　　　｜１　２　１　１｜

　　｜０　１　２｜　　　｜０　１　２　０｜

　　　　　　　　　　　　｜０　１　０　２｜

　　｜２　１　０　０　０　０　０　０｜

　　｜１　２　１　０　０　０　０　０｜

　　｜０　１　２　１　１　０　０　０｜

　　｜０　０　１　２　０　０　０　０｜

　　｜０　０　１　０　２　１　０　０｜

　　｜０　０　０　０　１　２　１　０｜

　　｜０　０　０　０　０　１　２　１｜

　　｜０　０　０　０　０　０　１　２｜

で定義され，格子群の基本領域の体積Ｖと最短距離ｄは

　　Ｇ＝（ｄ^2／２）^n｜Ｂ｜＝１＝Ｖ^2

より求められることになる．

　これらの隣接行列式を展開すると，

　　｜Ａ2 ｜＝３，｜Ａ3 ｜＝４，｜Ｄ4 ｜＝４，｜Ｄ5 ｜＝４，

　　｜Ｅ6 ｜＝３，｜Ｅ7 ｜＝２，｜Ｅ8 ｜＝１

が得られる．それでは，

　　｜Ａn ｜＝？，｜Ｄn ｜＝？，｜Ｅn ｜＝？

はどうだろうか．

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【１】Ａn型ルート格子

　　｜Ａ2 ｜＝｜２　１｜＝３

　　　　　　　｜１　２｜

　　　　　　　｜２　１　０｜

　　｜Ａ3 ｜＝｜１　２　１｜＝４

　　　　　　　｜０　１　２｜

は容易に計算できる．

　　・−・・・・・−・

をＡn のディンキン図形とすると，Ａn+1は左から・−を作用させた

　　・−・−・・・・・−・

すなわち，

　　・−（Ａn ）

であるから，その隣接行列式は

　　　　　　　　｜２　１　・・　０｜　｜２　１　・・　０｜

　　｜Ａn+1 ｜＝｜１　２　・・　０｜＝｜１　　　　　　　｜

　　　　　　　　｜０　１　・・　１｜　｜０　　　Ａn 　　｜

　　　　　　　　｜０　０　・・ ２｜　｜０　　　　　　　｜

で表される．

　右辺を第１行について展開すると

　　 ｜１　１　０　・・　｜

　　｜Ａn+1 ｜＝２｜Ａn ｜ −｜０　　　Ａn-1 　　｜

　　 ｜０　　　　　　　　｜

次に，第１列について展開して

　　｜Ａn+1 ｜＝２｜Ａn ｜ −｜Ａn-1 ｜

　このことから，

　　｜Ａn+1 ｜−｜Ａn ｜＝｜Ａn ｜ −｜Ａn-1 ｜

　＝・・・＝｜Ａ3 ｜ −｜Ａ2 ｜＝１

であり，したがって，数列｛｜Ａn+1 ｜−｜Ａn ｜｝は公差１の等差数列であることがわかり，

　　｜Ａn ｜＝１＋ｎ

が得られる．

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　次に，

　　｜２　１　・・　１｜　｜２　１　・・　０｜

　　｜１　２　・・　１｜　｜１　２　・・　０｜

　　｜１　１　・・・１｜＝｜０　１　・・　０｜＝１＋ｎ

　　｜１　１　・・　１｜　｜０　０　・・　１｜

　　｜１　１　・・ ２｜　｜０　０　・・ ２｜

を示してみよう．

　なぜ，このようなことをするのかというと，例えば，３次元の平行六面体の体積は

　　Ｖ^2＝｜ａ↑・ａ↑　　ａ↑・ｂ↑　　ａ↑・ｃ↑｜

　　　　　｜ｂ↑・ａ↑　　ｂ↑・ｂ↑　　ｂ↑・ｃ↑｜

　　　　　｜ｃ↑・ａ↑　　ｃ↑・ｂ↑　　ｃ↑・ｃ↑｜

で与えられ，点の配置が立方格子の格子線の交角を６０°になるようにゆがめたとき，グラミアンは

　　　　｜ｄ^2　　ｄ^2／２　　ｄ^2／２｜　　　　　　　　｜２　１　１｜

　　Ｇ＝｜ｄ^2／２　　ｄ^2　　ｄ^2／２｜＝（ｄ^2／２）^3｜１　２　１｜

　　　　｜ｄ^2／２　　ｄ^2／２　　ｄ^2｜　　　　　　　　｜１　１　２｜

として得ることができるというのがその理由である．

　３次の行列式であれば，行列式を展開して

　　｜２　１　１｜　　　｜２　１　０｜

　　｜１　２　１｜＝４，｜１　２　１｜＝４

　　｜１　１　２｜　　　｜０　１　２｜

であることを確認することができる．しかし，直接

　　｜２　１　１｜

　　｜１　２　１｜

　　｜１　１　２｜

を

　　｜２　１　０｜

　　｜１　２　１｜

　　｜０　１　２｜

に変形することは難しいだろう．

　　｜２　１　・・　０｜

　　｜１　２　・・　０｜

　　｜０　１　・・　０｜＝１＋ｎ

　　｜０　０　・・　１｜

　　｜０　０　・・ ２｜

は既に証明済みであるから，

　　｜２　１　・・　１｜

　　｜１　２　・・　１｜

　　｜１　１　・・・１｜＝１＋ｎ

　　｜１　１　・・　１｜

　　｜１　１　・・ ２｜

を示すことによって，両辺が一致することを確認してみよう．それでも立派な証明だろう．

　まず，第１行を他の行から引いて

　　｜２　１　・・　１｜　｜２　　１　・・　１｜

　　｜１　２　・・　１｜　｜−１　１　・・　０｜

　　｜１　１　・・　１｜＝｜−１　０　・・　０｜

　　｜１　１　・・　１｜　｜−１　０　・・　０｜

　　｜１　１　・・ ２｜　｜−１　０　・・ １｜

さらに第２列〜第ｎ列を第１列に加えれば

　　｜２　　１　・・　１｜　｜１＋ｎ　１　・・　１｜

　　｜−１　１　・・　１｜＝｜　０　　１　・・　０｜

　　｜−１　０　・・　０｜＝｜　０　　０　・・　０｜

　　｜−１　０　・・　１｜　｜　０　　０　・・　０｜

　　｜−１　０　・・ ２｜　｜　０　　０　・・ １｜

のように上三角行列式となる．

　三角行列の行列式の値は対角要素の積になるから，

　　｜２　１　・・　１｜

　　｜１　２　・・　１｜

　　｜１　１　・・　１｜＝１＋ｎ

　　｜１　１　・・　１｜

　　｜１　１　・・ ２｜

となることが証明されたことになる．

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【２】Ｄn型ルート格子

　　　　　　　｜２　１　０　０｜　｜　　　　　　０｜

　　｜Ｄ4 ｜＝｜１　２　１　１｜＝｜　　Ａ3 　　１｜

　　　　　　　｜０　１　２　０｜　｜　　　　　　０｜

　　　　　　　｜０　１　０　２｜　｜０　１　０　２｜

となるから，第４行について展開すると

　　　　　　　　　　　　　｜２　０　０｜

　　｜Ｄ4 ｜＝２｜Ａ3 ｜＋｜１　１　１｜＝４

　　　　　　　　　　　　　｜０　２　０｜

　｜Ｄ5 ｜は｜Ｄ4 ｜　

　　　　　　・

　　　　　／

　　・−・

＼

　　　　　　・

に，左から・−をさせればよいので，

　　　　　　　｜２　１　０　０　０｜　｜２　１　０　０　０｜

　　　　　　　｜１　２　１　０　０｜　｜１　　　　　　　　｜

　　｜Ｄ5 ｜＝｜０　１　２　１　１｜＝｜０　　　Ｄ4 　　　｜

　　　　　　　｜０　０　１　２　０｜　｜０　　　　　　　　｜

　　　　　　　｜０　０　１　０　２｜　｜０　　　　　　　　｜

（第１行について展開）　　　　　　　（第１列について展開）

　　　　　　　　｜１　１　０　０｜　　　　　　　｜２　１　１｜

　＝２｜Ｄ4 ｜−｜０　２　１　１｜＝２｜Ｄ5 ｜−｜１　２　０｜＝４

　 ｜０　１　２　０｜ ｜１　０　２｜

　 ｜０　１　０　２｜

　Ｄ6以上の一般のｎについても，前項同様に展開すると，漸化式

　　｜Ｄn+1 ｜−｜Ｄn ｜＝｜Ｄn ｜ −｜Ｄn-1 ｜

　＝・・・＝｜Ｄ5 ｜ −｜Ｄ4 ｜＝０

　したがって，

　　｜Ｄn ｜＝４

となる．

　Ｄn型格子では

　　Ｇ＝（ｄ^2／２）^n｜Ｄn ｜＝１＝Ｖ^2

より，

　　ｄ^2n＝２^n／４＝２^(n-2)

と表されることがわかった．

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【３】Ｅn型ルート格子

　Ｅ6では，まず，

　　　　・

　　　　｜

　　・−・−・−・　　（Ｄ5 ）

を求め，左から・−を作用させたものがＥ6，さらに・−を作用させるとＥ7，・−を作用させるとＥ8と続く．

　計算は省略するが，実際に計算すると，

　　｜Ｅ6 ｜＝３，｜Ｅ7 ｜＝２

また，ラプラス展開によって，漸化式

　　｜Ｅn+1 ｜−｜Ｅn ｜＝｜Ｅn ｜ −｜Ｅn-1 ｜

　＝・・・＝｜Ｅ7 ｜ −｜Ｅ6 ｜＝−１

が得られる．

　したがって，

　　｜Ｅ8 ｜＝１

となるが，９次以上は正ではなくなるので，ここで打ち切りである．

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【４】雑感

　行列式を既知の読者には，歯がゆかったかもしれないが，そのような読者はグラフの固有値やスペクトルについて勉強されてみては如何であろう．その応用の話がコラム「格子上の確率論（その８）」「幾何学と数論の相互転化」に収録されているので，参考になると思し，暇つぶしには最適な話題である．

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