平面上に配置した格子点の最近接点間距離が最大値をとるときは，点の配置が正三角形の頂点に等間隔に配置するときであり，空間中の点については，点の配置が立方格子の格子線の交角を６０°になるようにゆがめたときであった．

　詳細は，コラム「極大格子群とルート系」を参照願いたいのであるが，その際，グラミアンは

　　Ｇ＝（ｄ^2／２）^2｜２　１｜

　　　　　　　　　　　｜１　２｜

　　　　　　　　　　　｜２　１　０｜

　　Ｇ＝（ｄ^2／２）^3｜１　２　１｜

　　　　　　　　　　　｜０　１　２｜

として得ることができた．

　そこで，２次元，３次元の場合と同様に，ｎ次元に拡張したグラミアン

　　　　　　　　　　　｜２　１　・・　０｜

　　Ｇ＝（ｄ^2／２）^n｜１　２　・・　０｜＝１＝Ｖ^2

　　　　　　　　　　　｜０　１　・・　１｜

　　　　　　　　　　　｜０　０　・・ ２｜

より，格子点間距離ｄを求めてみることにするが，

　　｜２　１　・・　０｜

　　｜１　２　・・　０｜＝１＋ｎ

　　｜０　１　・・　１｜

　　｜０　０　・・ ２｜

と計算され，

　　Ｇ＝（ｄ^2／２）^n（１＋ｎ）＝１＝Ｖ^2

　　ｄ^2n＝２^n／（１＋ｎ）

と表されることがわかった．

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［補］固有値の幾何学的意味

　　｜２　１　１｜　｜２　１　０｜

　　｜１　２　１｜＝｜１　２　１｜＝４

　　｜１　１　２｜　｜０　１　２｜

　　｜２　１　・・　１｜　｜２　１　・・　０｜

　　｜１　２　・・　１｜　｜１　２　・・　０｜

　　｜１　１　・・・１｜＝｜０　１　・・　０｜＝１＋ｎ

　　｜１　１　・・　１｜　｜０　０　・・　１｜

　　｜１　１　・・ ２｜　｜０　０　・・ ２｜

　固有多項式の根と係数の関係より，トレース（対角線の項の和）＝固有値の総和が成り立つ．トレースは全固有値の和であり，行列式は全固有値の積ある．

　ところで，固有値は幾何学的に何に対応しているのであろうか？　→単位キューブを線型写像で変換したときの各辺の長さと思えばよい．なぜなら，写像：ｙ＝Ａｘによって，単位直方体は平行２ｎ面体に写像されるものとすると，この写像のヤコビアンはＪ＝｜Ａ｜となる．

　また，グラミアン

　　Ｇ＝｜Ａ｜^2

が成立する．したがって，平行２ｎ面体のｎ次元体積は

　　｜Ｇ｜^(1/2)＝｜Ａ｜

で与えられる．すなわち，行列式＝体積＝固有値の積であって，行列式はｎ本のベクトルで張られる平行２ｎ面体の体積となることが分かる．

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