１辺の長さ１の置換多面体の体積は

　　Ｖ2＝３√３／２

　　Ｖ3＝８√２

　　Ｖ4＝１２５√５／４

　　Ｖ5＝３２４√３

　　Ｖ6＝１６８０７√７／８

　　Ｖ7＝６５５３６

で，一般式は

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(n-1/2)／２^n/2

となる．まず，以前に求めた２通りの計算方法を示そう．

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【１】平行体分解

　平行体の体積は行列式（グラミアン）で与えられることから，ゾノトープの体積は平行体に分解して，平行体の体積がグラミアンで与えられることを用いればよい．ミンコフスキー和と呼ばれる平行２ｎ面体分解法である．

　ｎ次元置換多面体はｍ＝ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトル，

　　Ｖ＝｛ｖ1，・・・，ｖm｝

をもつ．したがって，これらの体積は線分のミンコフスキー和

　　ｖｏｌ（Ｖ）＝Σ｜ｄｅｔ（ｖi1，・・・，ｖin）｜

で与えられる．すなわち，（ｍ，ｎ）個の項をもつこの公式は，複体を平行体（parallelepiped）に分解してそのミンコフスキー和ととることを意味している．

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【２】角錐分解と漸化式を組み合わせる方法

　最も素朴な計算方法である．ｎ次元置換多面体の体積を求めるのに，ｎ−１次元までの体積が既知として，漸化式を組み合わせることになる．

　底体積は漸化式から求められるので，あとは底面までの距離がわかればよいことになる．それには計算法の一工夫が必要になるが，そこがクリアされれば，積分も三角関数も使わないで求積することができる．（小生の手計算でもできることを確認した．）

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【３】まとめ

　２通りに計算することは家計簿つけのシーンに喩えられる．まず行ごとの合計を求めてそれを総計する．次に列ごとの合計を求めてそれを総計する．そして計算が正しければその２つの計算結果は一致するというわけである．

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