平行多面体は結晶（金属結晶や鉱物結晶）でよくみられる構造である．たとえば，切頂八面体は体心立方格子のボロノイ領域，菱形１２面体は面心立方格子のボロノイ領域であるから重要，菱形１２面体はザクロ石（ガーネット）にもみられる．

　立方体は単純立方格子あるいは平行六面体は方解石にみられるから重要，六角柱はコランダム（ルビー・サファイア），歯のエナメル質などにみられるが，長菱形１２面体はあまりみられないから平行多面体の異端児である．

　最初は体心立方格子と面心立方格子の相転移を考えたので，切頂八面体と菱形１２面体に共通する元素多面体は何かという問題に帰着した．この答えはc-squadronであって，秋山先生が命名された．体心立方格子と面心立方格子の相転移の途中で，単純立方格子を経由することから，切頂八面体と菱形１２面体と立方体に共通する元素多面体は何かという問題になったが，それにはc-squadronを２分割すればよい．この多面体がpentadronである．ペンタドロンは切頂八面体を４８分割した５面体である．

　さらにその発展型が５種類ある平行多面体に共通する元素多面体は何かという問題である．私は当初直六角柱を考えたのでペンタドロンをさらに２分割する必要があったが，秋山先生が斜六角柱でよしとしようとおっしゃったことがきっかけで，長菱形１２面体も含め，すべての平行多面体の元素数が１であることが確定したことになる．ひとつの形から平行多面体が何でもできてしまうわけであるから，結晶学者は興味ももってくれるかもしれないと思う．

　平行多面体（５種類）：元素数１

　正多面体（５種類）：元素数４

　準正多面体（１３種類）：元素数１３（予想）

　ＪＺ多面体（９２種類）：元素数３３（予想）

　さらに最近では，２つの元素で平行多面体５種類と正四面体，正八面体の７種類を作ることができるもの，４つの元素で平行多面体５種類と正多面体５種類の計９種類を作ることができるものが見つかっている．

　また，相転移のモデルとなるフリップ・フロップ変身図形が，すべての平行多面体の間で見つかっている．何かに応用できると良いなと思うが，いますぐにはいいアイディアは浮かばない．

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