グレゴリー・ライプニッツ級数（１６７１年）

　　１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・＝π／４

［証］

　　１／（１＋ｘ）＝１−ｘ＋ｘ^2−ｘ^3＋・・・

これを項別積分すると

ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−１／２ｘ^2＋１／３ｘ^3−１／４ｘ^4＋・・・

が得られます．

　ここで、ｘをｘ^2 に置き換えると

１／（１＋ｘ^2）＝１−ｘ^2＋ｘ^4−ｘ^6＋・・・

これを項別積分して

ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−１／３ｘ^3＋１／５ｘ^5−１／７ｘ^7＋・・・

両辺にｘ＝１を代入すると、グレゴリー・ライプニッツ級数は

ａｒｃｔａｎ１＝π／４

π／４に収束することがわかります．

Σ（−１）^n-1 ・１／（２ｎ＋１）＝π／４＝arctan１

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　オイラー数Ｅnは

　　ｓｅｃｈｘ＝ΣＥn／ｎ！ｘ^n＝Ｅ0／０！＋Ｅ2／２！ｘ^2＋Ｅ4／４！ｘ^4＋・・・

でべき級数

　　ｃｏｓｈｘ＝１＋１／２！ｘ^2＋１／４！ｘ^4＋１／６！ｘ^6＋・・・

の反転級数として定義されます．

　オイラーのゼータ関数

　　Ｌ（ｓ）＝１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・

において

　　Ｌ（１）＝π／４

　　Ｌ（３）＝π^3／３２

　　Ｌ（５）＝５π^5／１５３６

　一般に

Ｌ（２ｎ＋１）＝(-1)^n｜Ｅ2n｜/2^(2n+2)(2n)!π^(2n+1)

Ｌ（−ｎ）＝1/2Ｅn（解析接続）

Ｌ（２ｎ）＝(-1)^nπ^2n／４（２ｎ−１）！∫(0,1)Ｅ2n-1(x)sec(πx)dx

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