ζ（−１）＝１＋２＋３＋４＋・・・＝−１／１２

は量子力学の真空エネルギー（カシミール力）の計算に使われています．

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【１】証明

　　Σｅｘｐ（−ｎｘ）＝１／（１−ｅｘｐ（−ｘ））

微分すると

　　Σｎｅｘｐ（−ｎｘ）＝ｅｘｐ（−ｘ）／（１−ｅｘｐ（−ｘ））^2

＝１／（ｅｘｐ（ｘ／２）−ｅｘｐ（−ｘ／２））^2

　また，ｘ＝０の周囲でローラン展開すると

　　Σｎｅｘｐ（−ｎｘ）＝１／ｘ^2−１／１２＋ｘ^2／２４０＋・・・

定数項をとると

　　ζ（−１）＝１＋２＋３＋４＋・・・＝−１／１２

　なお，もう一度微分して

　　Σｎ^2ｅｘｐ（−ｎｘ）

＝（ｅｘｐ（ｘ／２）−ｅｘｐ（−ｘ／２））（ｅｘｐ（ｘ／２）＋ｅｘｐ（−ｘ／２））／（ｅｘｐ（ｘ／２）−ｅｘｐ（−ｘ／２））^4

＝（ｅｘｐ（ｘ／２）＋ｅｘｐ（−ｘ／２））／（ｅｘｐ（ｘ／２）−ｅｘｐ（−ｘ／２））^3

に対して，ローラン展開し，定数項をとると

　　ζ（−２）＝１^2＋２^2＋３^2＋４^2＋・・・＝０

を与えます．

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