杉本晃久さんに

400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される

http://gigazine.net/news/20140222-new-polyhedron-shape/

なる記事を紹介していただいた．実際は，面が湾曲していて（平面でない）多面体とは正確には言えないそうですが，・・・．

　私はおもに生物を扱っている関係で，面は石けん膜のようなソフトマテリアルでできていることを想定します．したがって，面が曲面（凸面，凹面，Ｓ字状の湾曲した曲面など）であっても，違和感はありません．以下に，面が曲面の多面体の例を掲げておきます．

　なお，上記記事内に元のサイトが書かれていまので，リンクを下に張っておきます．

After 400 years, mathematicians find a new class of solid shapes

http://theconversation.com/after-400-years-mathematicians-find-a-new-class-of-solid-shapes-23217

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　１８８７年，ケルビン卿（ウィリアム・トムソン）は１４面体の集合によって空間を満たすことができ，そのときの界面積は菱形十二面体（rhombic dodecahedoron）で満たしたときより小さいことを発見しました．すなわち，１４面体は表面張力を最小とする空間分割構造であると考えることができます．

　この１４面体（α-１４面体）は，３対の合同な四角形の面と４対の合同な６角形の面とで囲まれています．最も簡単な場合は，６個の正方形と８個の正六角形とからなり，すべての辺の長さが等しいもの，すなわち，切頂八面体（truncated octahedron）です．切頂八面体は１３種ある準正多面体（アルキメデス体）のひとつです．

　切頂八面体とα-１４面体の関係は，立方体と平行六面体の関係に相当します．たとえば，諏訪氏の「病理形態学原論」には，α-１４面体の代表例として８個の合同な六角形，４個の合同な平行四辺形，２個の合同な矩形の面をもち，面はすべて平面となる立体が収載されています．このようなα-１４面体は無限にありますが，とくに，すべての辺の長さの等しいものは，ケルビンの１４面体と呼ばれています．ケルビンの１４面体は切頂八面体をやや引き伸ばした形であって，切頂八面体のような等方１４面体の条件は満足されませんが，単一の多面体による空間分割は可能です．

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　α-１４面体は，長い間，単一の多面体で空間を隙間なく分割しうる唯一のものと信じられてきました．面を平面にするという条件下にはこれは今日でも通用することです．しかし，その条件を外せば，空間充填１４面体にはもう１種類あることを，１９６８年になってウィリアムズが報告しています．これがβ-１４面体ですが，この間，実に１世紀近い年月の隔たりがあります．

　β-１４面体は，８個の合同な五角形と４個の合同な六角形と２個の合同な四角形をもち，それらの面は必ずしも平面である必要はありません．正方形の面は平面にできるのですが，その他の面はいずれも曲面（凸面，凹面，Ｓ字状の湾曲した曲面など）になります．

　α-１４面体に比較しても，辺が曲線になったり，面が曲面を含む点で幾何学的性質の単純さは劣りますが，五角形の面をもつという利点があります．すでに説明したように，分割多面体では５角形の面が最も多いのですが，α-１４面体はまったく５角形の面をもちませんから，β-１４面体のほうが空間分割のある側面をよく表していると考えることができます．

　β-１４面体のほうが形の上で実際に近いとはいっても，それだけでモデルの優劣を判断するわけにはまいりません．しかし，平面に投射した形を考えてみると，β-１４面体による空間充填は，スケールを大きくとることによって，５角形による平面充填配列（タイル張り）に近づいていきます．一方，α-１４面体を平面のタイル張りに還元するには，かなり著しい変形を加えなければなりません．このことは，血管の分岐様式が二分岐になるためのモデルとして，多面体が奇数の辺をもつβ-１４面体のほうが都合がよいことを意味していて，諏訪氏はβ-１４面体の存在理由を非常に重要なものと考えています．

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　便宜のため，α-１４面体とβ-１４面体の主要な幾何学的性質をまとめて表示しておきます．

　　　　　　　　【α-１４面体】　　　　　　　【β-１４面体】

面の形と数　　　平面６辺形（８）　　　　　　　曲面５辺形（８）

　　　　　　　　平面平行４辺形（４）　　　　　曲面６辺形（４）

　　　　　　　　平面正方形または矩形（２）　　平面正方形または矩形（２）

稜の形と数　　　直線（３６）　　　　　　　　　曲線（２４）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　直線（１２）

［１］平面状のα-１４面体

［２］曲面状のα-１４面体

［３］β-１４面体

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