（その５）（その６）に戻ってみる．もとの正多角形の辺の中点をうまく結んだ正多角形ができます．この正多角形をペトリー多角形，この面をペトリー面（赤道面）といいます．高次元版の立方体と正八面体の断面は辺の中点を通るだろうか？

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【１】立方体の断面

　立方体の８個の頂点を（±１，±１，±１）とし，（１，１，１）と（−１，−１，−１）を結ぶ対角線に直交する平面：ｘ＋ｙ＋ｚ＝０で切った切り口を求めると，

　　（−１，０，１），（０，−１，１）

　　（−１，１，０），（１，−１，０）

　　（１，０，−１），（０，１，−１）

となる．

　たとえば，（−１，０，１）は頂点（−１，−１，１）と頂点（−１，１，１）を結ぶ辺の中点である．

　４次元では１６個の頂点を（±１，±１，±１，±１）とし，切断面：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝０で切った切り口を求めると，＋１は２個，−１が２個の座標をもつ６頂点

　　（−１，−１，１，１），（−１，１，−１，１），（１，−１，−１，１）

　　（−１，１，１，−１），（１，−１，１，−１），（１，１，−１，−１）

からなる図形であること判明する．

　たとえば，（−１，−１，１，１）は辺の中点でなく頂点そのものである．

　５次元でも同様に３２個の頂点を（±１，±１，±１，±１，±１），切断面：ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＝０で切った切り口を求めると，＋１は２個，−１が２個，０が１個の座標をもつ３０頂点からなる図形ｆ＝（３０，６０，４０，１０）である．これは辺の中点である．

　６次元では，＋１は３個，−１が３個の座標をもつ２０頂点からなる図形ｆ＝（２０，９０，１２０，６０，１２）である．これは辺の中点でなく頂点そのものである．

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【２】正八面体の断面

　正八面体の６個の頂点を（±２，０，０），（０，±２，０），（０，０，±２）とし，平面：ｘ＋ｙ＋ｚ＝０で切った切り口を求めると，

　　（−１，０，１），（０，−１，１）

　　（−１，１，０），（１，−１，０）

　　（１，０，−１），（０，１，−１）

となる．

　たとえば，（−１，０，１）は頂点（−２，０，０）と頂点（０，０，２）を結ぶ辺の中点である．

　４次元では８個の頂点を（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）とし，切断面：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝０で切った切り口を求めると，＋１は１個，−１が１個，０が２個の座標をもつ１２頂点

　　±（１，−１，０，０），±（１，０，−１，０），±（１，０，０，−１）

　　±（０，１，−１，０），±（０，１，０，−１），±（０，０，１，−１）

からなる図形であること判明する．

　たとえば，（１，−１，０，０）は頂点（２，０，０，０）と頂点（０，−２，０，０）を結ぶ辺の中点である．

　５次元でも同様に１０個の頂点を（±２，０，０，０，０），（０，±２，０，０，０），（０，０，±２，０，０），（０，０，０，±２，０），（０，０，０，０，±２），切断面：ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＝０で切った切り口を求めると，＋１は１個，−１が１個，０が３個の座標をもつ２０頂点からなる図形ｆ＝（２０，６０，７０，３０）である．これは辺の中点である．

　６次元では，＋１は１個，−１が１個，０が４個の座標をもつ３０頂点からなる図形ｆ＝（３０，１２０，２１０，１８０，６２）である．これは辺の中点である．

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【３】まとめ

　もとの正多角形の辺の中点をうまく結んだ正多角形をペトリー多角形と定義すると，正軸体の中心断面はその定義を満たすが，立方体の中心断面はｎが奇数のときのみ定義を満たすことになる．

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