ａ，ｂ，ｃを正の定数０＜ａ≦ｂ≦ｃとし，

(1)ａ＋ｂ≦ｃならば，

　　2/π∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx=ab

(2)ａ＋ｂ＞ｃならば，

　　2/π∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx=ab-1/4(a+b-c)^2

が成り立つ．

　(1)の場合は，積分値がｃの値によらないことに注意していただきたいのだが，丹野先生はこれらを超立方体と超平面の交わり部分の体積として証明していて，ａ＋ｂ≦ｃならば積分値がｃに依存しないことは，平面が立方体の上面に交わらないことに対応するもので，この驚くべき結果も超立方体と超平面の関係を考えると理解できるというものであった．

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【１】丹野の定理

　２次元平面上で辺の長さ１の正方形と直線の交わり（切り口）は単なる線分の長さになります．ここでは，０≦ａ1≦ａ2の場合を考えますから，直線はｘ軸とｙ＝−ｘに挟まれた領域を動けることになり，正方形の上辺，下辺には交わりません．

　したがって，交わりをｘ軸に射影した線分の長さは１であり，ｎ＝（０，１）とａ＝（ａ1，ａ2）の内積を考えることによって，求める線分の長さ（体積）は

　　Ｖ2（ａ）＝１／ａ2

であることがわかります．

　３次元の場合は，少し複雑になるのですが，

(1)ａ3＞ａ1＋ａ2の場合は，立方体の上面には交わらないので，２次元の場合と同様にして，

　　Ｖ3（ａ）＝１／ａ3

(2)ａ3＜ａ1＋ａ2の場合は上面に交わるので，その分補正が必要となるのですが，｛｝内で（）の中が正のときのみ和をとるという意味の演算記号｛｝_を導入して，

　　Ｖ3（ａ）＝１／ａ3−１／ｃ｛（ａ1＋ａ2−ａ3）^2｝_

　　ｃ＝４ａ1ａ2ａ3

で与えられることが求められます．この式は(1)の場合も含んでいます．

　４次元の場合は，

　　Ｖ4（ａ）＝１／ａ4−１／ｃ［｛（ａ1＋ａ2＋ａ3−ａ4）^3｝_−｛（ａ2＋ａ3−ａ1−ａ4）^3｝_］

　　ｃ＝２４ａ1ａ2ａ3ａ4

となるのですが，これらの考察を高次元化していくことによって，次の定理が与えられます（丹野の定理，1990年）．

　（定理１）

　　Ｖn（ａ）＝１／ａn−１／ｃΣ(-1)^(r-1)Σ_Ｌr^(n-1)

　　ｃ＝（ｎ−１）！２^(n-2)ａ1ａ2･･･ａn，ｒ＝1~n-2

　ここで，Ｌrは

　　Ｌr＝ａk(1)＋・・・＋ａk(n-r)−ａk(n-r+1)−・・・−ａk(n-1)−ａn

ただし，k(1)~k(n-1)は1~n-1のいずれかであって，

　　Ｌr＞０，k(1)<k(2)<･･･<k(n-r)，k(n-r+1)<･･･<k(n-1)

を満たすものと定めます．

　２次元ではａ1≦ａ2ですからＬ1は存在せず，３次元の場合，

　　Ｌ1＝ａ1＋ａ2−ａ3

４次元の場合，

　　Ｌ1＝ａ1＋ａ2＋ａ3−ａ4

　　Ｌ2＝ａ2＋ａ3−ａ1−ａ4

５次元の場合，Ｌ2型は４つあり，

　　Ｌ1＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4−ａ5

　　Ｌ2＝ａ1＋ａ2＋ａ3−ａ4−ａ5

　　Ｌ2＝ａ1＋ａ2＋ａ4−ａ3−ａ5

　　Ｌ2＝ａ1＋ａ3＋ａ4−ａ2−ａ5

　　Ｌ2＝ａ2＋ａ3＋ａ4−ａ1−ａ5

　　Ｌ2＝ａ2＋ａ3＋ａ4−ａ1−ａ5

　　Ｌ3＝ａ3＋ａ4−ａ1−ａ2−ａ5

のようになります．以下，一般のｎについて，Ｌrがいくつあるかを数え上げると丹野の定理が証明されます．

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【２】シンク関数の積分

　ｎ＝３の場合，ボールの定理

　　Ｖ3（ａ）＝2/πabc∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx

と丹野の定理

　　Ｖ3（ａ）＝1/c-1/4abc{(a+b-c)^2}_

を組み合わせることによって，ａ，ｂ，ｃを正の定数０＜ａ≦ｂ≦ｃとし，

(1)ａ＋ｂ≦ｃならば，

　　2/π∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx=ab

(2)ａ＋ｂ＞ｃならば，

　　2/π∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx=ab-1/4(a+b-c)^2

が成り立つことが証明されます．

　また，とくに(2)において，ａ＝ｂ＝ｃならば，

　　∫(0,∞)sin^3(ax)/x^3dx=3a^2π/8

なのですが，丹野の定理を拡張すると，正の数ａと整数ｎ≧２に対して

　（定理２）

　　∫(0,∞)sin^n(ax)/x^ndx=a^(n-1)π/2-a^(n-1)π/(m-1)!2^(n-1)Σ(-1)^(r-1)(n-1,r-1)(n-2r)^(n-1)

　　(n-1,r-1)は２項係数n-1Ｃr-1，r=0~[(n-1)/2]，［］はガウス記号

が成り立ちます．

　この定理を用いると

　　∫(0,∞)sin(ax)/xdx=π/2

　　∫(0,∞)sin^2(ax)/x^2dx=aπ/2

　　∫(0,∞)sin^3(ax)/x^3dx=3a^2π/8

　　∫(0,∞)sin^4(ax)/x^4dx=a^3π/3

　　∫(0,∞)sin^5(ax)/x^5dx=115a^4π/384

　　∫(0,∞)sin^6(ax)/x^6dx=11a^5π/40

が求められます．

　ちなみに，詳しい公式集，

　　"Table of Integrals,Series and Products"

　　I.S.Gradshteyn and I.M.Ryzhik,6th Edition,Academic Press

p456-457でも，この形の積分に関しては，

　　∫(0,∞)sin^6(ax)/x^6dx=11a^5π/40

までしか載っていません．

　しかし，丹野の定理２を使えば，ずっと先まで求めることができるというわけです．

　　∫(0,∞)sin^7(ax)/x^7dx=5887a^6π/23040

　　∫(0,∞)sin^8(ax)/x^8dx=151a^7π/630

　　∫(0,∞)sin^9(ax)/x^9dx=259732a^8π/1146880

　　∫(0,∞)sin^10(ax)/x^10=15619a^9π/72576

　　∫(0,∞)sin^11(ax)/x^11dx=381773117a^10π/1857945600

　　∫(0,∞)sin^12(ax)/x^12dx=655177a^11π/3326400

　　∫(0,∞)sin^13(ax)/x^13dx=20646903199a^12π/108999475200

　　∫(0,∞)sin^14(ax)/x^14dx=27085381a^13π/148262400

　　∫(0,∞)sin^15(ax)/x^15dx=467168310097a^14π/2645053931520

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