【１】ボールの定理

　原点を通り，ａに直交する超平面Ｈ（ａ）のａの成分は，

　　０≦ａ1≦ａ2≦・・・≦ａn，　ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１

を満たすものとしても一般性を失われません．もし，ａkが負ならば，ｘk軸の向きを逆にすることにより，ａkは正となるからです．

　このとき，Ｈ（ａ）によるｎ次元単位立方体の切り口の体積は

　　Ｖn（ａ）＝1/π∫(-∞,∞)Πsinc(ａkｘ)dx

と表されます（ボールの定理，1986年）．この定理の証明は紹介しませんが，主として一様分布の確率論的議論によって証明されます．

　また，同じく，ボールによって

　　１≦Ｖn（ａ）≦√２

であることも証明されています（ボールの不等式）．

　　Ｖn（ａ）＝√２

になるのは，

　　ａ1＝ａ2＝・・・＝ａn-2，ａn-1＝ａn＝１／√２

のとき，すなわち，ｎ−１次元切断面が超立方体のｎ−２次元面を含むときです．

　ボールの不等式は「１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．また，（３次元）単位立方体の断面は，３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．」ことをもっと高次元化しても成り立つことを主張するものです．

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