今回のコラムでは

　　∫(0,∞)sin^k(ax)/x^kdx=a^(n-1)π/2-a^(n-1)π/(m-1)!2^(n-1)Σ(-1)^(r-1)(n-1,r-1)(n-2r)^(n-1)

に注目し，シンク関数の積分不等式

　　1/π∫(-∞,∞)｜sin(x)/x｜^kdx≦√（２／ｋ）

　　1/π∫(0,∞)｜sin(x)/x｜^kdx≦１／√（２ｋ）　　（等号はｋ＝２のときに限る）

を検証したい．

　すると，この証明がボールの不等式

　　１≦Ｖn（ａ）≦√２

の証明につながっていくのである．

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【１】シンク積分と超立方体の断面積

　シンク積分は，幾何学的には立方体の断面積として理解することができる．以下，その様子をみていくことにしたい．

　公式集

　　"Table of Integrals,Series and Products"

　　I.S.Gradshteyn and I.M.Ryzhik,6th Edition,Academic Press

p431-432には，

　　∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^ndx

とくにn=1,2,3の場合が掲げられていてる．

　それらはSinとSignがやたらとでてくる公式であって，例えば，ａ，ｂ，ｃを正の定数０＜ａ≦ｂ≦ｃとし，

(1)ａ＋ｂ≦ｃならば，

　　2/π∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx=ab

(2)ａ＋ｂ＞ｃならば，

　　2/π∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx=ab-1/4(a+b-c)^2

が成り立つ，などである．

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【２】シンク関数の積分不等式

　　1/π∫(0,∞)sin(x)/xdx=1/2<1/√2

　　1/π∫(0,∞)sin^2(x)/x^2dx=1/2=1/2

　　1/π∫(0,∞)sin^3(x)/x^3dx=3/8<1/√6

　　1/π∫(0,∞)sin^4(x)/x^4dx=1/3<1/√8

　　1/π∫(0,∞)sin^5(x)/x^5dx=115/384<1/√10

　　1/π∫(0,∞)sin^6(x)/x^6dx=11/40<1/√12

　　1/π∫(0,∞)sin^7(x)/x^7dx=5887/23040<1/√14

　　1/π∫(0,∞)sin^8(x)/x^8dx=151/630<1/4

　　1/π∫(0,∞)sin^9(x)/x^9dx=259732/1146880<1/√18

　　1/π∫(0,∞)sin^10(x)/x^10=15619/72576<1/√20

　　1/π∫(0,∞)sin^11(x)/x^11dx=381773117/1857945600<1/√22

　　1/π∫(0,∞)sin^12(x)/x^12dx=655177/3326400<1/√24

　　1/π∫(0,∞)sin^13(x)/x^13dx=20646903199/108999475200<1/√26

　　1/π∫(0,∞)sin^14(x)/x^14dx=27085381/148262400<1/√28

　　1/π∫(0,∞)sin^15(x)/x^15dx=467168310097/2645053931520<1/√30

　検証をするだけでは物足りないので，

　　∫(0,∞)sin^k(x)/x^kdx≦1/√2k

の証明のあらすじだけ紹介すると，

　　sinx/x=1-x^2/6+x^4/120-･･･<1-x^2/6+x^4/120

　　exp(-x^2/6)=1-x^2/6+x^4/72-x^6/1296+･･･>1-x^2/6+x^4/72-x^6/1296

　　exp(-x^2/6)-sinx/x=x^4/72-x^6/1296-x^4/120>=0　　（ｘ^2≦36/5＜π^2のとき）

などの不等式を利用すると証明することができる．

　　0≦sinx/x≦exp(-x^2/6)　　（ｘ^2≦36/5＜π^2のとき）

より

　　∫(0,∞)sin^k(x)/x^kdx≦∫(0,∞)exp(-kx^2/6)dx1/√2k=1/2√(6/πk)≦1/√2k

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