立方体と正八面体を同じ切断面で切る．この切断面はそれぞれの中心を通り，３回回転対称軸に直交する平面：ｘ＋ｙ＋ｚ＝０である．

　４次元立方体では１６個の頂点を（±１，±１，±１，±１）とし，切断面：ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝０で切った切り口を求めると，＋１は２個，−１が２個の座標をもつ６頂点

　　（−１，−１，１，１），（−１，１，−１，１），（１，−１，−１，１）

　　（−１，１，１，−１），（１，−１，１，−１），（１，１，−１，−１）

からなる図形であること判明する．

　これらは

　　±（−１，−１，１，１），±（−１，１，−１，１），±（１，−１，−１，１）

と書くことができるから，３本のベクトルが互いに直交して，その長さが４で，中心から等距離にあるから，正八面体をなす．

　偶数次元（２ｍ次元）では＋１がｍ個，−１がｍ個の頂点座標をもち，奇数次元（２ｍ＋１次元）では＋１がｍ個，−１がｍ個，０が１個の頂点座標をもつ図形となる．

　それに対して，正軸体の切断面は，偶数次元（２ｍ次元）でも，奇数次元（２ｍ＋１次元）でも＋１が１個，−１が１個，残りが０の頂点座標をもつ図形となる．

　ｎ次元正軸体の切断面に現れる図形について，そのｋ次元面数は

　　ｆ0＝ｎ（ｎ＋１）

　　ｆ1＝（ｎ−１）ｆ0

　　ｆn-1＝２（２^n−１）

　　ｆk＝２（２^k+1−１）n+1Ｃk+2

となる．

　ｎ次元立方体の切断面に現れる図形のｋ次元面は，このような一般式の形で与えるのは難しいが，漸化式の形で与えることができて，具体的にはワイソフ算術を用いて計算できる．

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