リーとヤンは統計力学のある問題に取り組んでいたとき，ある多項式

　　Ｐ（ｚ）＝Σａjｚ^j

の根がずべて｜ｚ｜＝１上に載っていることに気づいた．

　この問題はＰ（ｚ）を特性多項式としてもつユニタリ行列が見つかりさえすれば証明できる．

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【１】浅野（太郎）の縮約法

　ｍ次多項式：Ｐ（ｚ）＝Σａjｚ^jをｍ変数の各変数の次数が１である多項式Ｑ（ｚ1，・・・ｚm）で置き換える．｜ｚ1｜＜１，・・・，｜ｚm｜＜１であれば常にＱ≠０が成り立つような類をＲとする．

　ＱがＲのなかにあれば，Ｐの根は｜ξ｜≧１を満足する．さらに，この統計力学の問題ではｚ→１／ｚという対称性があるので，｜ξ｜＝１を満足する．また，Ｑ1とＱ2がＲのなかにあれば，Ｑ1Ｑ2もＲに含まれる．

　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを変数ｚj，ｚkを除いた多項式とする．

　　Ｑ（ｚ1，・・・ｚm）＝Ａｚjｚk＋Ｂｚj＋Ｃｚk＋Ｄ

と書く．

　このとき，浅野の縮約法により，

　　Ａｚjｚk＋Ｂｚj＋Ｃｚk＋Ｄ→Ａｚjk＋Ｄ

に置き換えることができる．すまらｍ変数多項式がｍ−１変数多項式が得られたことになる．Ｑが類Ｒに属していれば，この多項式もＲに属している．

　２変数多項式で

　　ｚjｚk＋ａjk（ｚj＋ｚk）＋１

の形をしたものは，ａjkが実数で｜ａjk｜≦１ならがＲに属することが確かめられる．この多項式を０とおくと写像ｚj→ｚkがうまれるが、これは円の中を円の外に移す．

　このような多項式の積を作って浅野の縮約法を施し，すべての変数をｚとすれば，リー・ヤンの円定理

　　Ｐ（ｚ）＝ｚ^|x|ΠΠａjk，ａjk＝ａkj，｜ａjk｜≦１の根はずべて，単位円｜ｚ｜＝１上にある

が得られる．

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