３次元正軸体系

　　ａ1＝１，ａ2＝√（１／３），ａ3＝√（２／３）

　（その１５３）の続きである．

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［１］｛３，４｝（１０１）：（１２＋１０√２）／３

　ｂ＝（１１１）

　　Ｖ3＝｛ｂ0ｇ0Ｈ0Ｖ2Λ0＋ｂ1ｇ1Ｈ1Ｖ1Λ1＋ｂ2ｇ2Ｈ2Ｖ0Λ2｝／３

　また，ｙ0＝１，ｙ3＝０

　　（ｙ0−ｙ1）／√（１／ａ1）^2＝（ｙ2−ｙ3）／√｛（１／ａ2）^2＋（１／ａ3）^2｝＝Ｌ

　　（ｙ1−ｙ2）／√｛（１／ａ1）^2＋（１／ａ2）^2｝＝０

→ｙ0＝１，ｙ1＝ｙ2＝３（３−√２）／７，ｙ3＝０，Ｌ＝（３√２−２）／７

　　ｃ0＝ａ1^2（１−ｙ1）＋ａ2^2（１−ｙ2）＋ａ3^2（１−ｙ3）＝（４√２＋２）／７

　　‖ｄ0‖＝（ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2）^1/2＝√２

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ｄ0‖＝（４＋√２）／７

　　ｃ1＝ａ2^2（１−ｙ2）＋ａ3^2（１−ｙ3）＝（４＋√２）／７

　　‖ｄ1‖＝（ａ2^2＋ａ3^2）^1/2＝１

　　ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ｄ1‖＝（４＋√２）／７

　　ｃ2＝ａ3^2（１−ｙ3）＝２／３

　　‖ｄ2‖＝（ａ3^2）^1/2＝√（２／３）

　　ｈ2＝｜ｃ2｜／‖ｄ2‖＝√（２／３）

　辺の長さを１に規格化する．辺の長さは２Ｌ．したがって，

　　Ｈk＝ｈk／２Ｌ

　　Ｖ2＝１，Λ2＝√３／４

　以上より

　３Ｖ3・２Ｌ＝｛ｂ0ｇ0ｈ0Ｖ2Λ0＋ｂ1ｇ1ｈ1Ｖ1Λ1＋ｂ2ｇ2ｈ2Ｖ0Λ2｝＝６・（４＋√２）／７・１＋１２・（４＋√２）／７＋８・√（２／３）・√３／４＝（７２＋３２√２）／７

　　Ｖ3＝（１２＋１０√２）／３　　（一致）

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［２］｛３，４｝（１１１）：２２＋１４√２

　ｂ＝（１１１）

　　Ｖ3＝｛ｂ0ｇ0Ｈ0Ｖ2Λ0＋ｂ1ｇ1Ｈ1Ｖ1Λ1＋ｂ2ｇ2Ｈ2Ｖ0Λ2｝／３

　また，ｙ0＝１，ｙ3＝０

　　（ｙ0−ｙ1）／√（１／ａ1）^2

＝（ｙ1−ｙ2）／√｛（１／ａ1）^2＋（１／ａ2）^2｝

＝（ｙ2−ｙ3）／√｛（１／ａ2）^2＋（１／ａ3）^2｝＝Ｌ

→ｙ0＝１，ｙ1＝（√２＋１）／３，ｙ2＝√２−１，ｙ3＝０，Ｌ＝（２−√２）／３

　　ｃ0＝ａ1^2（１−ｙ1）＋ａ2^2（１−ｙ2）＋ａ3^2（１−ｙ3）＝（６−２√２）／３

　　‖ｄ0‖＝（ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2）^1/2＝√２

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ｄ0‖＝（３√２−２）／３

　　ｃ1＝ａ2^2（１−ｙ2）＋ａ3^2（１−ｙ3）＝（４−√２）／３

　　‖ｄ1‖＝（ａ2^2＋ａ3^2）^1/2＝１

　　ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ｄ1‖＝（４−√２）／３

　　ｃ2＝ａ3^2（１−ｙ3）＝２／３

　　‖ｄ2‖＝（ａ3^2）^1/2＝√（２／３）

　　ｈ2＝｜ｃ2｜／‖ｄ2‖＝√（２／３）

　辺の長さを１に規格化する．辺の長さは２Ｌ．したがって，

　　Ｈk＝ｈk／２Ｌ

　　Ｖ2＝２＋２√２，Λ2＝３√３／２

　以上より

　３Ｖ3・２Ｌ＝｛ｂ0ｇ0ｈ0Ｖ2Λ0＋ｂ1ｇ1ｈ1Ｖ1Λ1＋ｂ2ｇ2ｈ2Ｖ0Λ2｝＝６・（３√２−２）／３・（２＋２√２）＋１２・（４−√２）／３＋８・√（２／３）・３√３／２＝３２＋１２√２

　　Ｖ3＝２２＋１４√２　　（一致）

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