ガウスは１７９６年の日記に「わかった！　ｎ＝△＋△＋△」と書いていますが，それはすべての整数は３つの３角数の和によって表しうるという意味で，ｍ＝３の場合についての証明に相当します．ガウスの発見は８ｎ＋３の形をしたすべての整数を３つの奇数の平方の和として表せることを意味していて，３平方和定理「８ｎ＋７の形の自然数は３つの平方数の和では表せない」を用いると「ｎ＝△＋△＋△」を簡単に示すことができます．

（証明）４^k（８ｎ＋７）でない奇数は３平方和で表せますから，任意の自然数ｎに対して８ｎ＋３＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2と書けます．このとき，ｘ＝２ｐ＋１，ｙ＝２ｑ＋１，ｚ＝２ｒ＋１とおくと

　　ｎ＝ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２＋ｒ（ｒ＋１）／２

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【１】ｍ角数定理

　「ｍ角数定理」とは「すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる」というものです．この定理で，ｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」，ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」に相当します．ｍ＝５の場合が五角数定理「ｎ＝☆＋☆＋☆＋☆＋☆」の相当するわけですが，フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は，オイラー，ラグランジュ，ルジャンドルなどの研究を経て，１８１３年，コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました．

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【２】２平方和定理（フェルマーの定理）

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，

　　５＝１^2＋２^2，

　　１３＝２^2＋３^2，

　　１７＝１^2＋４^2，

　　２９＝２^2＋５^2，

　　・・・・・・・・・

　このように，４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在します．

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2

　　ｘ＝ａｃ−ｂｄ，ｙ＝ａｄ＋ｂｃ

しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．

　この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています（フェルマー・オイラーの定理）．

　２平方和定理は「４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在する」でしたが，フェルマーはまた，

　　「ｐが８で割ると１または３余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2」

　　「ｐが８で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2」

　　「ｐが３で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2」

となる自然数ｘ，ｙが存在することを発見しました．

　ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2，・・・などの発見は，類体論の序曲をなすものといえるのです．

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【３】３平方和定理（ルジャンドルの定理）

　４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，

　　「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない．」

　□＋□＋□は４^K（８ｎ＋７）の形でないすべての整数を表現するというのが，ルジャンドルの定理です．この定理は，ガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」の証明のところで，すでに紹介済みです．

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【４】４平方和定理（ラグランジュの定理）

　「任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せる．」

すなわち「ｎ＝□＋□＋□＋□」

　オイラーはこの定理の直前まで行きながら，最後の段階で成功しませんでした．ラグランジュはオイラーの研究成果からアイデアを得て，１７７２年，最後の段階を突破しました（オイラー・ラグランジュの定理）．

　その証明中で用いられる基本公式が

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

で，１７４８年にオイラーによって証明されています．

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