ｎ×ｎ個の升目に１〜ｎ^2までの数を入れ，各行各列の合計が

　　ｎ（ｎ^2＋１）／２

になるように並べたものが「魔方陣」である．よく知られたパズルであるから誰しも試行錯誤したことがあるに違いない．

　たとえば，

　　［１，５，９］

　　［８，３，４］

　　［６，７，２］

は３次の魔方陣であり，縦の並びも横の並びもその和はすべて１５となっている．ただし，ここでは対角線の和がそうなることは要求しないことにする．

　１次魔方陣はあまりにもつまらない．２次魔方陣は存在しない．１から９までの数字を３×３マスにあてはめる３次魔方陣は回転や鏡映をのぞいてただ１種類である．１から１６までの数字を４×４マスにあてはめる４次魔方陣は回転や鏡映をのぞいて８８０種類ある．１から２５までの数字を５×５マスにあてはめる５次魔方陣は回転や鏡映をのぞいて２７５３０５２２４種類あることがわかっている．６次魔方陣は何個あるかわからないほどある．急速に複雑さが増していくのである．

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　ここでは，縦の並びも横の並びも対角線もその和はすべて１５となっている３次の魔方陣について考える．

　　［８，３，４］

　　［１，５，９］

　　［６，７，２］

　試行錯誤でやっていけば，あるいは直感で真ん中の升目には数の真ん中にある５をいれるべきということがわかるが，少し分析してみよう．

　　ｎ（ｎ^2＋１）／２＝３（３^2＋１）／２＝１５

であるから，真ん中の升目と通る縦横対角線に含まれる数の和は６０．ここには真ん中の升目は４回，それ以外はすべての升目が１度だけ含まれるから，

　　（６０−４５）／３＝１５／３＝５

で真ん中の升目には５が入ることになる．

　真ん中の升目を挟む２数は，足して１０．したがって，（１，９）（２，８）（３，７）（４，６）のペアでなければならない．

　もし，９を隅の升目におくと，対角線上の隅には１．隅から出る縦横対角線には９の升目が３回含まれ，また，含まれる升目の合計は４５であるから，

　　（４５−２３）／２＝６

となる数は（１，５）（２，４）となって，１を重複して使わなければならなくなる．これは不可能．したがって，９は列の真ん中におくしかない．

　この議論は１から始めてもよいが，９の場合と対称的になり，１も列の真ん中におくしかないことになる．

　　［＊，＊，＊］

　　［１，５，９］

　　［＊，＊，＊］

　残った奇数は３と７であるが，縦の並びも横の並びも対角線もその和はすべて１５であるから，４隅に奇数をおくと重複して使わなければならなくなり，これは不可能．４隅には偶数２，４，６，８のどれかしかなくなる．

　そこで，たとえば，２と４を９を挟んでおくと

　　［＊，＊，４］

　　［１，５，９］

　　［＊，＊，２］

残りの升目を埋めるのは１通りしかない．

　　［８，３，４］

　　［１，５，９］

　　［６，７，２］

　この図を回転させる，あるいは表裏逆転させるとさらに７つの解が得られるから合計８つの解があることになる．９をおくときには４つの場所が可能性としてあり，２と４を９を挟んでおく場合も２通りの置き方があり，全体では８通りの置き方がある．しかし，本質的には１通りだけということになるのである．

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