（その６）を補足しておきたい．

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　フィボナッチの等式としてよく知られている２乗２平方恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

は一般に２通りに表せる．

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

　ａ＝２，ｂ＝５，ｃ＝１，ｄ＝３とすると

　　２９０＝１７^2＋１^2＝１３^2＋１１^2

　ａ＝１，ｂ＝４，ｃ＝１，ｄ＝４とすると，それぞれ，

　　１７＝１５^2＋８^2

　　１７＝１７^2＋０^2

　今度はｚ＝ｍ^2＋ｎ^2として

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

を適用すると

　　ｚ^2＝（ｍ^2＋ｎ^2）（ｍ^2＋ｎ^2）＝（ｍ^2−ｎ^2）^2＋（ｍｎ＋ｍｎ）^2

　つまり，

　（ｍ^2＋ｎ^2）^2＝（ｍ^2−ｎ^2）^2＋（２ｍｎ）^2

となって，バビロニア人たちはすでに一般的なピタゴラスの定理を知っていたのではないかと想像されます．

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　ピタゴラス三角形は無限にあり、その一般形にはいくつかの変形がありますが，ｍ，ｎを整数，ｋを相似係数として

　　ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）

が形も簡単で広く用いられています．

　　｛（ｎ^2−１）／２｝^2＋ｎ^2＝｛（ｎ^2＋１）／２｝^2

　　（ｎ^2−１）^2＋（２ｎ）^2＝（ｎ^2＋１）^2

のように文字を一つだけ使ったのでは，ピタゴラス三角形全部をもれなく表す公式は作れませんが，二つの文字を使った公式

　　（ｍ^2−ｎ^2）^2＋（２ｍｎ）^2＝（ｍ^2＋ｎ^2）^2

では全部を表すことができます．逆に，この式から４より大きい平方数は常に２つの自然数の平方の差として表されることがわかります．

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