（その５）では正四面体の対称性と正２４胞体の関係を述べた．

　　［参］のんびり数学研究会「ガロアに出会う」数学書房

では４次対称群Ｓ4の元を正四面体の図形的な動きとしてすべて描きだされている．

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　ところで，フィボナッチの等式としてよく知られている２乗２平方恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

とオイラーの公式（２乗４平方恒等式）

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

の恒等式の対比もおもしろいものがある．

　前者は一般に２通りに表せる．

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

　ａ＝３，ｂ＝２，ｃ＝２，ｄ＝１とすると

　　６５＝７^2＋４^2＝８^2＋１^2

文字の変換（ｃ←→ｄ）あるいは符号の変換（ｄ→−ｄ）による変形であるが，

後者にもいくつかの変形が得られる（±ｐ←→±ｑ←→±ｒ←→±ｓの８通り？）．

　（ｘ＋ｙ）^2と（ｘ−ｙ）^2の展開のように，真ん中の項は±ａｂｃｄとなって消えてしまい，残った４項が左辺のように因数分解されるのであるが，後者でも２４項が相殺され，残った１６項が左辺のように因数分解されるのである．

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　直角三角形では，斜辺をｃ，他の二辺をａ，ｂとすると，ピタゴラスの定理「ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2」が成り立つことはよく知られています．特に，三辺の長さが整数である直角三角形をピタゴラス三角形といいます．３元２次の不定方程式ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2の整数解を求める問題をピタゴラスの問題といいますが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７），・・・などがその解です．

　４０００年も前の紀元前二千年頃に，エジプトでは（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７）などのピタゴラス三角形が知られていたことがパピルスに記録されています．また，同じ頃のバビロニアの粘土板プリンプトン３２２にはピタゴラスの定理が成り立つような３数の組が１５組刻まれているのですが，その中のきわめつけが（１２７０９，１３５００，１８５４１）です．この数値は試行錯誤で得られるような代物ではなく，バビロニア人たちはすでに一般的なピタゴラスの定理を知っていたのではないかと想像されます．（プリンプトン３２２にある１５組の直角三角形では，斜辺の傾きが３０°〜４５°の間にほぼ稠密に分布しているという．）

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