ここではラマヌジャンがマハラノビスに出題したパズルを紹介します．

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【１】ラマヌジャンのパズル

（Ｑ）１からｎ−１までの和がｎ＋１からｍまでの和に等しくなる（ｍ，ｎ）を求めよ．

（Ａ）この問題は，

　　（ｎ−１）ｎ／２＝（ｍ−ｎ）（ｍ＋ｎ−１）／２なる（ｍ，ｎ）を求めるものというものです．これを整理すると

　　ｍ^2＋ｍ＝２ｎ^2

になるのですが，両辺を４倍して１加えます．すると

　　４ｍ^2＋４ｍ＋１＝８ｎ^2＋１

　　（２ｍ＋１）^2＝２（２ｎ）^2＋１

ここで，２ｍ＋１＝ｐ，２ｎ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　√２の最良近似分数列ｐ／ｑ

　　1/1,3/2,7/5,17/12,41/29，99/70,239/169,577/408,･･･

において，

　　ｐ^2−２ｑ^2＝±１　　（ペル方程式）

の±１は交互に繰り返し現れます．

　　２^2＋２^2＝３^2−１

　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１

　　・・・・・・・・・・・・・

　したがって，

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｍ，ｎ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・

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【２】三角数△と四角数□のパズル

（Ｑ）△＝□？，すなわち，三角数ｎ（ｎ＋１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ）ｎ^2＋ｎ＝２ｍ^2

　　４ｎ^2＋４ｎ＋１＝８ｍ^2＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝２（２ｍ）^2＋１

ここで，２ｎ＋１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・ｎは完全平方と完全平方の２倍を交互に繰り返します．

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