ダイヤモンドとグラファイト（鉛筆の芯）に次ぐ炭素第３の形として「フラーレン」があげられる．フラーレンは１９７０年に大澤映二氏（当時京都大学）が存在を予言していた分子である．フラーレンの中でも６０個の炭素原子が球殻状に結合したＣ60はサッカーボール（切頂２０面体）にそっくりで，１２個の五角形と２０個の六角形からなる網目状のカゴ構造を形成している．
それは炭素原子の結合にかかるストレスが均等に分散しているため他に類を見ないほど安定性が高く化学者たちを興奮させずにはおかなかった．内部に金属イオン（荷電粒子）を閉じこめられることがわかると，世界中の研究者がこぞってこの物質の応用とその可能性に目を向けるようになった．超伝導体，潤滑剤，新薬，電池，触媒等々・・・．現在，フラーレンは炭素原子が中空らせん状に並んだカーボンナノチューブとともにナノテク新素材の代表選手と知られている．
今回のコラムでは「炭素の同素体」について，ｎ＝０〜３の場合，すなわち，
(1)３次元・・・ダイヤモンド
(2)２次元・・・グラファイト
(3)１次元・・・カーボン・ナノチューブ，カルバイン
(4)０次元・・・フラーレン（Ｃ60），カーボンオニオン
を取り上げる．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】ダイヤモンド（３次元）
ダイヤモンドが炭素原子のみから形成されていることは１７９６年には認知され，１９１３年にはブラッグ父子によりその原子配列が解析されている．非常に硬い物質（金剛石）で，熱伝導率も高く，比重は３．５２，屈折率は２．４２である．水の屈折率は１．３３，他の天然宝石の屈折率が１．５〜１．９であるのに比べて格段に大きいことがわかるだろう．
雨が降った後，空が清らかに晴れてきても空中には無数の小水滴が浮遊している．これに太陽光線が入射すると，光の分散が起こり虹を生ずる．透明でさえあればどのような物質からできていても光の分散は起こる．水（屈折率≒４／３）であっても，ガラス（屈折率≒３／２）であっても虹はできるのであるが，反射する球体の屈折率が２以上の場合，たとえばダイヤモンド（屈折率＝２．４２）の場合，虹のできる様子は水滴の場合とはかなり異なってくる．どのような透明体であっても差し支えないわけではなく，水の屈折率が１．３程度であったおかげで，われわれは美しい虹を見ることができるのである．
ダイヤモンドの４Ｃ（カラット，カラー，クラリティー，カット）というのを聞いたことがあるだろう．純粋に炭素原子のみからなるダイヤモンドは無色だが，１００万に１つの炭素がホウ素に入れ替わるとブルーの発色が起こる．また，カットの仕方によってカラーとクラリティーが違ってくる．光の屈折と反射の具合は，含有されている夾雑金属元素にもよるのであろうが，多面体の形によっても決定される．ダイヤモンドのブリリアンカットの原型はベネチアのガラス職人・ベルッチによって与えられた（１７００年）．そして１９１９年（大正８年），ベルギーの数学者で宝石職人でもあったトルコフスキーが数学を駆使して設計した５８面がダイヤモンドを魅惑的に光り輝かせることになったのである．
ダイヤモンド格子は正四面体の重心と頂点に位置する．すべての頂点の次数は４で，ダイヤモンドの最大周期格子は面心立方格子Ａ3である．正四面体状球配置の密度はπ√３／１６＝０．３４０であり，面心立方格子状の最密球配置：π√２／６＝０．７４，立方体状球配置：π／６＝０．５２４に較べて疎であるが，炭素原子からはそれぞれ４本の手がでていて，隣り合う４点と２本の手を共有しできる限り対称的なものを作り上げていることになる．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】グラファイト（２次元のダイヤモンド）
グラファイトは炭素原子による蜂の巣状の層が積み重なってできている．炭素原子の手は対称的ではなく，３本の手はほとんど同一平面上に乗っているが残りの１本の手が層間に長く伸びている．
そのため，グラファイトは層間の結合（ファンデルワールス力）が弱く，とても柔らかいため鉛筆の芯に用いられている．グラファイトは大きな劈開性と圧縮性をもつが，同じ炭素のみからなる物質でもダイヤモンドとはまったく異なる性質を有することは大変興味深い．
３本の縮まった手からなる六角格子（蜂の巣）は正三角形の重心と頂点に位置する．すべての頂点の次数は３，最大周期格子は菱形格子Ａ2である．このことから六角格子は２次元のダイヤモンド格子と呼んでも差し支えないだろう．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
［補］高次元のダイヤモンド
ｎ次元正単体の二面角は
ｃｏｓθ＝１／ｎ
中心と各頂点を結ぶベクトルのなす角は
ｃｏｓθ＝−１／ｎ
で与えられる．
正三角形ではｎ＝２，正四面体ではｎ＝３であるから，中心と各頂点を結ぶベクトルのなす角は
ｃｏｓθ＝−１／２ → θ＝１２０°
ｃｏｓθ＝−１／３ → θ＝１０９．４７１° （正四面体角，マラルディの角）
このことは，高次元空間における正単体を考えるとき役立つだろう．
また，一般次元における既約なルート格子はＡn，Ｄnと３種類の例外型ルート格子Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8に分類されることはよく知られている．２次元ダイヤモンドである蜂の巣とダイヤモンドの性質を一般化すると，ルート格子の１つであるＡnを考えるのが自然であろう．なお，Ａn格子に対する接吻数はｎ（ｎ＋１）で与えられる．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】フラーレン（０次元のダイヤモンド）
フラーレンは１９７０年に大澤映二氏（当時京都大学）が存在を予言していた６０個の炭素からなるサッカーボール構造（切頂２０面体）をもつ分子である．
１９８５年に，クロト，スモーリー，カール（Kroto,Smalley,Curl）がグラファイトにレーザーを当ててできた欠片をマススペクトルにかけたところ分子量が７２０（Ｃ60）と８４０（Ｃ70）という値が得られその存在が確認された．彼らはネイチャー誌に論文を書いてサッカーボールの画を載せた．（その後，数ｍｇ〜数百ｍｇのフラーレンが得られる製法が開発され，ＮＭＲで間違いなくサッカーボールの形であることが証明された．）
彼らの論文はサッカーボールの形を推定しただけであるが，結局この３人がノーベル化学賞をもらって，大澤映二氏の名前は世界に広く知られることはなく随筆で止まってしまった．日本人にとっては残念なストーリーであるが，大澤映二氏は有機合成のエキスパート，現在でも精力的に人造・人工ダイヤの研究を行っておられる（現・ナノ炭素研究所）．
その後，サッカーボール型のＣ60だけでなく、ラグビーボール型のＣ70，金属を内部に取り込んだＣ80などが次々に発見され，これら一群の球状炭素分子はフラーレンと総称される．
フラーレンはダイヤモンドに次ぐくらい硬く，セシウムやルビジウムなどのアルカリ金属を加えると超伝導をおこすという化学的性質をもつ．切頂２０面体は頂点が６０あり，どの頂点からも３本の手がでている．したがってＣ60では３０本の二重結合（１２５００のケクレ構造）が描ける．また，異性体は１８１２種類もあり，そのうちで１２個の五角形がすべて離れているものが１つだけあり，それがサッカーボール型のＣ60である．この形は最も安定であるが，Ｃ60，Ｃ70以外にも正五角形１２枚，正六角形は２０枚〜１００枚以上の０次元ダイヤモンドが知られている．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある．
（Ａ）オイラーの多面体定理で示される制限からいえることとして，
ｖ−ｅ＋ｆ＝２，２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ
を組み合わせると，
２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｆ＋４ → ｆ≦２ｖ−４
２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｖ＋４ → ｖ≦２ｆ−４
また，別の組合せ方をすると，
３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≦２ｅ＋３ｆ → ３ｆ−ｅ≧６
３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≧２ｅ＋３ｖ → ３ｖ−ｅ≧６
ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，
Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・
２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・
６Ｆ−２Ｅ≧１２
に代入すると
３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２
地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は
４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２
となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．
ここで，
(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる
(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体）
(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体）
(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（斜方切頂立方八面体）
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【４】カーボン・ナノチューブ（１次元のダイヤモンド）
１次元の炭素同素体といえば，カルバイン（アセチレンをずっと伸ばしたような炭素の１次元同素体）のようなものを思い浮かべるのが普通であるが，グラファイトをぐるっと管状に丸めたものもれっきとした１次元ダイヤモンドである．
すべての面が六角形であるような多面体は存在しない．蜂の巣状六角形タイル貼りに五角形タイルを１つ入れるとその部分が盛り上がった曲面となる．五角形タイルの数を増やしていって１２枚になったところで閉じたい多面体となる．これを２つに切って両半球にそれぞれ６枚ずつの五角形が含まれる場合（６，６）に，半球間にグラファイトを細い円筒状に巻いたものがカーボン・ナノチューブである．
カーボン・ナノチューブは１９９１年，飯島澄男氏（当時ＮＥＣ）により発見された１次元物質である．興味深いことにグラファイトシートの巻き方によって電気伝導性が大きく変わり，電気をよく伝えるものから電気を伝えにくいものまでいくつかの種類がある．このことから次世代半導体としてカーボン・ナノチューブが注目されている．
最近ではグラファイトを円錐形に丸めたナノコーンも面白い性質をもつ物質として応用上注目されているという．円錐にするには両端のキャップ部分の五員環を（６，６）ではなく，（１，１１），（２，１０），（３，９），（４，８），（５，７）の組にする．したがって，ナノコーンの仰角は５種類に限られる．また，らせんを作るには五員環，六員環以外に七員環を入れる必要がある．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
［参］細矢治夫「宇宙の中のサッカーボール」
砂田利一「ダイヤモンドはなぜ美しい？」シュプリンガー・ジャパン