ラングレーの問題『四角形ＡＢＣＤにおいて，∠ＡＢＤ＝２０°＝ａ，∠ＤＢＣ＝６０°＝ｂ，∠ＢＣＡ＝５０°＝ｃ，∠ＡＣＤ＝３０°＝ｄのとき，∠ＡＤＢ＝ｅの大きさを求めよ．』

　この問題はラングレーが自ら創刊した雑誌「Mathematical Gazett」に提出したのが最初です（１９２２年，ただし出題形式は多少異なる）．

　会え合われている角度をできるだけたくさん計算してもうまくいきません．４点ＡＢＣＤは同一円周上にはないためｅ＝３０°は技巧的な補助線を発見しない限り求めることができないことから，初等幾何の難問として多くのファンに愛されて（？）います．

　補助線を引く方法は図を複雑にすることによって，解を求めることがはるかに簡単になるというパラドキシカルな問題といえるわけです．

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　出題形式は多少異なるものがあり，四角形でなく二等辺三角形において角度を求めるという形で知っている方も多いと思われますが，どちらも同じ問題になっています．種明かしをすれば，この問題は頂角が２０°の二等辺三角形（底角８０°）と関係していて，したがって，正１８角形の対角線の交点と関係しています．

　正１８角形を描いて対角線を引けば，この問題の図が現れるというわけですが，正１８角形の対角線の交点数は１８３７（２重点１５１２個，３重点２１６個，４重点５４個，５重点５４個）．ｎ＝１８の場合は５重点が中心以外での多重度最大の交点で，６重点以上はｎが３０の倍数でないと出現しません．また，正１８角形をすべての対角線で分断したときの断片数は２４６６にもなります．

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　この記事の読者であればおそらく誰でも一度は取り組み，誰もが一度は悩んだことがある問題と思われます．私は２通りの補助線の引き方を知っているのですが，正三角形や二等辺三角形，凧型などが唐突に出てくる証明に驚かされたことをいまでも鮮明に憶えています．

　答えは∠ＡＤＢ＝３０°ですが，種明かしをすれば，この問題は頂角が２０°の二等辺三角形と関係していて，したがって，正１８角形の対角線の交点と関係しています．正１８角形を描いて対角線を引けば，この問題の図が現れるというわけです（頂角２０°の二等辺三角形を４個の二等辺三角形に分割する方法は１１世紀のアラブの学者によって発見されていて，半径１の円に内接する１辺の長さｘは３次方程式ｘ^3＋１＝３ｘの解として求められます）．

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