平行体の体積は行列式（グラミアン）で与えられることから，ゾノトープの体積は平行体に分解して，平行体の体積がグラミアンで与えられることを用いればよい．ミンコフスキー和と呼ばれる平行２ｎ面体分解法である．

　とはいえ，一般の準正多胞体についての効率的な体積計算法は十中八九ない．そこで，直接計算するのではなく，角錐に分解して，漸化式の形で求めることになる．

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　平行体の体積は

［１］漸化式

［２］行列式（グラミアン）

で与えられる．

［１］では，底体積は漸化式から求められるので，あとは底面までの距離がわかればよいことになる．底体積を直接計算することは可能であるが，思った以上に難航した．

［２］では平行体を分解して，その体積がグラミアンで与えられることを用いればよい．とはいえ，これについても効率的な体積計算法は十中八九なく，地道に計算を続行するしかなかった．

　［１］［２］の２通りに計算することは家計簿つけのシーンに喩えられる．まず行ごとの合計を求めてそれを総計する．次に列ごとの合計を求めてそれを総計する．そして計算が正しければその２つの計算結果は一致するというわけである．

　すなわち，［１］だけでは計算の正しさを確認することができないのであるが，［２］の計算量は膨大になる．

　ｎ次元置換多面体はｍ＝ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトル，また，その正軸体版はｍ＝ｎ（ｎ−１）＋ｎ＝ｎ^2組の平行なｎ次元ベクトル

　　Ｖ＝｛ｖ1，・・・，ｖm｝

をもつ．したがって，これらの体積は線分のミンコフスキー和

　　ｖｏｌ（Ｖ）＝Σ｜ｄｅｔ（ｖi1，・・・，ｖin）｜

で与えられる．（ｍ，ｎ）個の項をもつこの公式は，複体を平行体（parallelepiped）に分解してそのミンコフスキー和ととることを意味しているが，次元が高くなるにつれて［２］は大変難しくなるはず・・・と思っていた．ところが，Mathematicaには便利な組み込み関数があり，

　　Ｖ＝｛ｖ1，・・・，ｖm｝

の定義さえ済めば，予想以上に速く計算が完了したのである．

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