［参］のんびり数学研究会「ガロアに出会う」数学書房

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【１】２次方程式の共役な解

　ｑｉをあらためてひとつの複素数とおき直すと，一般に

　　ｘ^2＋ａｘ＋ｂ＝（ｘ−ｐ−ｑ）（ｘ−ｐ＋ｑ）＝ｘ^2−２ｐｘ＋ｐ^2−ｑ^2＝０

　　−２ｐ＝ａ，ｐ^2−ｑ^2＝ｂ　→　ｐ＝−ａ／２，ｑ^2＝ａ^2／４−ｂ

　結局，これは２次方程式の解の公式である．

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【２】３次方程式の共役な解

　３次方程式では，共役な３解を

　　ｐ＋ｑ＋ｒ，ｐ＋ｑω＋ｒω^2，ｐ＋ｑω^2＋ｒω

とおく．ｐ，ｑ，ｒは実数とは限らない．

　どうしてそんな数を思いついたかについては種本に譲ることにして，

　　（ｘ−ｐ−ｑ−ｒ）（ｘ−ｐ−ｑω−ｒω^2）（ｘ−ｐ−ｑω^2−ｒω）

＝（Ｘ−ｑ−ｒ）（Ｘ−ｑω−ｒω^2）（Ｘ−ｑω^2−ｒω），Ｘ＝ｘ−ｐ

＝Ｘ^3−３ｑｒＸ−ｑ^3−ｒ^3，Ｘの２次の項が消えている

＝（ｘ−ｐ）^3−３ｑｒ（ｘ−ｐ）−ｑ^3−ｒ^3＝０

　たとえば，

　　ｘ^3−３ｘ^2＋９ｘ＋５＝０

を

　　（ｘ−ｐ）^3＋ａ（ｘ−ｐ）＋ｂ＝０

の形に変形したいならば

　　（ｘ−ｐ）^3＋ａ（ｘ−ｐ）＋ｂ＝０

＝ｘ^3−３ｐｘ^2＋（３ｐ^2＋ａ）ｘ−ｐ^3−ａｐ＋ｂ

　係数を比較すると，ｐ＝１，ａ＝６，ｂ＝２，すなわち，

　　（ｘ−１）^3＋６（ｘ−１）＋２＝０

と変形できる．

　このとき，

　　（ｘ−ｐ）^3−３ｑｒ（ｘ−ｐ）−ｑ^3−ｒ^3

＝（ｘ−１）^3−３ｑｒ（ｘ−１）−ｑ^3−ｒ^3＝０

との間で係数を比較すると，

　　ｑｒ＝−２，ｑ^3＋ｒ^3＝−２

　ｒ＝−２／ｑを第２式に代入すると

　　（ｑ^3）^2＋２ｑ^3−８＝０　→　ｑ^3＝２，−４

このことから，ｑ，ｒとしては

　　（ｐ，ｑ）＝（２^1/3，（−４）^1/3），（２^1/3ω，（−４）^1/3ω^2），（２^1/3ω^2，（−４）^1/3ω），（（−４）^1/3，２^1/3），（（−４）^1/3ω，２^1/3ω^2），（（−４）^1/3ω^2，２^1/3ω）

　しかし，これから得られる３解

　　ｐ＋ｑ＋ｒ，ｐ＋ｑω＋ｒω^2，ｐ＋ｑω^2＋ｒω

は本質的には１通りである．

　　１＋２^1/3＋（−４）^1/3，１＋２^1/3ω＋（−４）^1/3ω^2，１＋２^1/3ω^2＋（−４）^1/3ω

　一般に，

　　（ｘ−ｐ）^3＋ａ（ｘ−ｐ）＋ｂ＝０

ならば，

　　ｑｒ＝−ａ／３，ｑ^3＋ｒ^3＝−ｂ

　ｒ＝−ａ／３ｑを第２式に代入すると

　　（ｑ^3）^2＋ｂｑ^3−ａ^3／２７＝０

となるわけである．

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