世の中には無限多くの形があるが，話を単純にするためにここでは「結晶」に限定しよう．結晶は２３０種類あることが知られている．実際，３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．（結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．）

　２３０種類にせよ２１９種類にせよ，これでもかなりの数だが，少し目線を引いて結晶格子を遠くからみてみよう．じっと眺めていると面白い事実に気づく．いつも特定の形の凸多面体が現れるのである．ここで現れる結晶格子に対応する本質的な配置はディリクレ領域と呼ばれるものであるが，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる形（平行多面体）になっている．

　平行多面体についての第１の問題は，まずどれだけの種類があるかであるが，ロシアの結晶学者フェドロフによって，５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体−−しかないことが証明されている（１８８５年）．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以である．

　それでは第２の問題は何かというと，平行多面体元素問題

［Ｑ］何種類か凸多面体を用いて，すべての平行多面体を作りたい．その種類の最小数は何か？

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【１】驚くべき答

［Ａ］答えは驚くべきことに「１」となる．この問題は平行多面体にアフィン合同なものをどれかひとつ作れればよいという意味であるが，ペンタドロンσはそのひとつの答えとなっている．σ2，σ4も元素の定義を満たすから，その形は一意には定まらない．

　この事実の証明は非常に簡単である．実際に構成することができるからだ．しかし，ペンタドロンももつ意味は非常に深淵である．この世の中のすべての形がたった１種類の多面体から生み出されているといってもよいからである．

　平行多面体はペンタドロン元素からできている・・・２００８年の発見から５年以上経過しして，ペンタドロンの論文がやっと出版された．タイトルは

　　“Geometry-Intuitive，Discrete,　and　Convex”

　　　Bolyai Society Mathematical Studies　Vol.24 (2013)

SPRINGER から本の形で出版されたので廉価ではない．さらに，イメージミッション社からペンタドロン模型が発売されたのでお知らせしたい．

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【２】理由が知りたい

　なぜ，かくも都合のいいことが起こったのか，その本質を知りたいという人は少なくないだろう．実はこんなに都合のいいことが起こるのは３次元の特異性に負っているのであって，４次元でも５次元でも決して起こり得ない現象なのである．

　そのことを理解して頂くために，高次元でも普遍的に存在するｎ次元空間充填多胞体を２種類を構成する．それらは体心立方格子型空間充填をもたらす２^n＋２ｎ胞体とミンコフスキーによって発見された空間充填２（２^n−１）胞体である．

　３次元の切頂八面体（１４面体）は，すべての次元を通じて唯一，空間充填２^n＋２ｎ胞体，かつ，空間充填２（２^n−１）胞体という性質をもつ多面体であるという事実が，３次元平行多面体の元素数が１であることと密接に関係しているのである．

　　２^3＋２・３＝２（２^3−１）＝１４

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【３】正多面体の元素定理に関するＱ＆Ａ

［Ｑ］５種類ある正多面体の元素数はいくつになるだろうか？

［Ａ］この問題は正多面体そのものを再構成できる元素数はいくつかという問題であり，平行多面体の場合とは分解合同の意味合いが多少異なる設問である．そのため，証明方法も自ずと異なっていて，デーン不変量の線形独立性が焦点となってくる．証明の概略だけを示すと，・・・

［１］実際に４種類の元素をα，β，γ，δとすると正四面体はα8，正２０面体はβ24，正八面体はβ24γ24，立方体はα8β12γ12，正１２面体はα8β12γ12δ12で構成されることを示すことができる．

［２］４種類の元素があればすべての正多面体を構成できる（十分条件）ことを示したあとは，どうしてもそれだけの元素が要るという必要条件を示すことによって，正多面体の元素数は４であるという結論が主張できる．

　α，β，γ，δは正多面体に共通する元素の実例であるが，その形は一意には定まらない．

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［Ｑ］正多面体の元素の面数の最小数はいくつになるだろうか？

［Ａ］４種類の元素はすべて四面体にすることができる．これは「自明な下限」であって，これ以下に面数を引き下げることはできない．

　面数最小という条件の下でも，さらに体積最小という条件を付加しても，その形は一意には定まらないのであるが，この４種類の元素で正多面体５種類と平行多面体５種類を構成できるものが見つかった．もっと正確にいうと，２元素で正四面体，正八面体，立方体，平行多面体を構成することができる．さらに２元素加えると，すべての正多面体と平行多面体を構成することができる．立方体は正多面体でもあり，平行多面体でもあり，両者の共通集合をなす．

　結局，正多面体元素定理と平行多面体元素定理は融合された形になったが，各々の結論

［１］正多面体の元素数は４である

［２］平行多面体の元素数は１である

は融合したあとも不変である．

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［定理］６種類ある４次元正多胞体の元素数は４である．

［定理］３種類あるｎ（≧５）次元正多胞体の元素数は３である．

　３次元と４次元は正多面体の元素数が減少する特殊な次元といえる．これらは

　　ｎ＝３のとき，２（ｎ＋１）＝２^n

　　ｎ＝４のとき，２・２ｎ＝２^n，２^n＋２ｎ＝２４

などが成り立つという幾何学的な事情に負っているのである（２４は４次元正２４胞体の胞数の意）．

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