円周上に等間隔に配置されたｎ点を結んで完全グラフを作る．それは正ｎ角形のすべての辺と対角線になるが，このとき，「単位円に内接する正ｎ角形のすべての辺と対角線の長さの２乗和は頂点数ｎの２乗に等しい」が成り立つ．

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［Ｑ１］平面の正ｎ角形について成り立つ性質「単位円に内接する正ｎ角形のすべての辺と対角線の長さの２乗和は頂点数ｎの２乗に等しい」は正多面体についても成り立つか？　「単位球に内接する正多面体のすべての辺と対角線の長さの２乗和は頂点数の２乗に等しい」を証明せよ．

［Ｑ２］この定理を用いて，単位球に内接する正四面体に１辺の長さを求めよ．

［Ｑ３］ｎ点から（重複を許さず）２点を選ぶ組み合わせ数：nＣ2＝ｎ（ｎ−１）／２は正ｎ角形の辺と対角線の総数となる．それでは，ｎが奇数のとき，ｎ点から（重複を許さず）４点を選ぶ組み合わせ数：nＣ4＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／２４は？　　　（正ｎ角形の対角線の交点数）

［Ｑ４］nＣ4＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／２４＞２０１４となる最小のｎを求めよ．

　ｎ＝１７が答えであるが，やみくもにｎを見積もるのではなく，たとえば，

　　ｎ^4あるいは（ｎ−１．５）^4＞ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）

　　（ｎ−１．５）^4＞２４・２０１０≒５・１０^4

　　（ｎ−１．５）^2＞√５・１０^2

　　（ｎ−１．５）＞√√５・１０，　　ｎ＞１６．５

［Ｑ５］ｎ点から（重複を許さず）３点を選ぶ組み合わせ数：nＣ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６は三角形の総数となる．それでは，円周を１２等分する点が与えられているとき，正三角形，二等辺三角形，直角三角形の総数を求めよ．　　　（答えはそれぞれ４個，５２個，６０個）

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