３次元例外型Ｈ3を扱ってみる．

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【１】Ｈ3の場合

　　Ｐ0Ｐ1＝１

　　Ｐ1Ｐ2＝ｃｏｔ（π／ｐ）

　　Ｐ0Ｐ2＝ｃｏｓｅｃ（π／ｐ）＝１／ｓｉｎ（π／ｐ）

　　Ｐ0Ｐ3＝ｓｉｎ（π／ｑ）｛１−ｃｏｓ^2（π／ｐ）−ｃｏｓ^2（π／ｑ）｝^1/2

　　Ｐ2Ｐ3＝ｃｏｓ（π／ｐ）ｃｏｓ（π／ｑ）／ｓｉｎ（π／ｐ）｛１−ｃｏｓ^2（π／ｐ）−ｃｏｓ^2（π／ｑ）｝^1/2

　　Ｐ1Ｐ3＝ｃｏｓ（π／ｐ）／｛１−ｃｏｓ^2（π／ｐ）−ｃｏｓ^2（π／ｑ）｝^1/2

　　ｈ＝２４／（１０−ｐ−ｑ）−２　　（スタインバーグの公式）

を用いると

　　ｓｉｎ（π／ｈ）＝｛１−ｃｏｓ^2（π／ｐ）−ｃｏｓ^2（π／ｑ）｝^1/2

　　ｃｏｓ^2（π／ｈ）＝ｃｏｓ^2（π／ｐ）＋ｃｏｓ^2（π／ｑ）

となるので，

　　Ｐ0Ｐ1＝１

　　Ｐ1Ｐ2＝ｃｏｔ（π／ｐ）

　　Ｐ0Ｐ2＝ｃｏｓｅｃ（π／ｐ）＝１／ｓｉｎ（π／ｐ）

　　Ｐ0Ｐ3＝ｓｉｎ（π／ｑ）

　　Ｐ2Ｐ3＝ｃｏｓ（π／ｐ）ｃｏｓ（π／ｑ）／ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｈ）

　　Ｐ1Ｐ3＝ｃｏｓ（π／ｐ）／ｓｉｎ（π／ｈ）

　　正１２面体｛ｐ，ｑ｝＝｛５，３｝

　　正２０面体｛ｐ，ｑ｝＝｛３，５｝

とも，

　　ｈ＝１０

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，ｃｏｔ（π／ｐ），０）

　　Ｐ3（１，ｃｏｔ（π／ｐ），ｃｏｓ（π／ｐ）ｃｏｓ（π／ｑ）／ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｈ））

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【２】正２０面体の場合

　ｐ＝３，ｑ＝５，ｈ＝１０

を代入すると

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，√（１／３），０）

　　Ｐ3（１，√（１／３），（√５＋１）／√３（√５−１））

となって，

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，ｔａｎθ，０）＝（１，√（１／３），０）

　　Ｐ3（１，ｔａｎθ，τ^2／２ｃｏｓθ）＝（１，√（１／３），τ^2／√３）

と一致する．

　　ａ1＝１，ａ2＝√（１／３），ａ3＝τ^2／√３

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【３】正１２面体

　ｐ＝５，ｑ＝３，ｈ＝１０

を代入すると

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，√（５＋２√５）／５），０）

　　Ｐ3（１，√（５＋２√５）／５），τ√（５＋２√５）／５））

となって，θ＝３π／１０として

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，ｔａｎθ，０）

　　Ｐ3（１，ｔａｎθ，τ^2／２ｃｏｓθ）

　　ｃｏｓθ＝τ／２√（５＋２√５）／５）＝（√（１０−２√５））／４

と一致する．

　　ａ1＝１，ａ2＝τ（τ^2＋１）^1/2／√５，ａ3＝τ^2（τ^2＋１）^1/2／√５

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