切頂四面体ともとの正四面体と体積比は

　　１−４／２７：１＝２３：２７

正四面体の辺の長さを１とすると，正四面体の体積は１／６√２であるから，切頂四面体の体積は

　　１／６√２・２３／２７

辺の長さを１に規格化すると

　　１／６√２・２３／２７・２７＝２３√２／１２

　切頂四面体｛３，３｝（１１０）に対しても，わざわざ奥の手を使ってみたい．

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　正四面体の基本単体は，

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，√（１／３），０）

　　Ｐ3（１，√（１／３），１／２・√（２／３））

にとることができる．

　　ａ1＝１，ａ2＝√（１／３），ａ3＝１／２・√（２／３）＝√（１／６）

　　ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）

とおく．

　　（ｙj-1−ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj−ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2

を計算して

　　１−ｙ1＝（ｙ1−ｙ2）／√４＝Ｌ

　（ｙ2−ｙ3）／√９＝０→ｙ2＝ｙ3＝０，ｙ1＝２／３（辺の三等分点），Ｌ＝１／３

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので

　　ａ＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｑ＝（ｘ1−ａ1，ｘ2−ａ2，ｘ3−ａ3，・・・，ｘn−ａn）

とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝−（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ0＝−（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ｄ0‖，‖ｄ0‖＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　　ｃ0＝ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2−ａ1^2ｙ1＝１＋１／３＋１／６−２／３＝５／６

　　ｄ0＝（１＋１／３＋１／６）^1/2＝（３／２）^1/2

　　ｈ0＝５／６・√（２／３）

　辺の長さを１に規格化する．辺の長さは２Ｌ．したがって，

　　Ｈk＝ｈk／２Ｌ→Ｈ0＝５／６・√（３／２）

　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，・・・，０，−ａn）

　　ｃn-1＝−ａnｘn＋ａn^2＝−ａn^2ｙn＋ａn^2

　　ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ｄn-1‖，‖ｄn-1‖＝（ａn^2）^1/2

　　ａn^2ｙn＝０

→ｈ2＝ａ3＝１／√６，Ｈ2＝ｈ2／２Ｌ＝１／√６・３／２＝１／２・√（３／２）

　また，

→Ｖ2＝√３／４（正三角形の面積）

→Λ2＝３√３／２（正六角形の面積）

　　Ｖ＝（Ｎ0・Ｖ2・Ｈ0＋Ｎ2・Λ2・Ｈ2）／３

＝｛４・√３／４・５／６・√（３／２）＋４・３√３／２・１／２・√（３／２）｝／３

＝｛５／２√２＋１８／２√２｝／３＝２３／６√２＝２３√２／１２

となって一致．

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［まとめ］

［１］中心から正三角形面までの距離

　　Ｈ0＝５／６・√（３／２）

［２］中心から正六角形面までの距離

　　Ｈ2＝１／２・√（３／２）

　三角関数を使わない分，計算は簡単になっているようだ．

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